Les nombres complexes

Chapitre 5 : Les nombres complexes
1. Introduction - Définition
1.1. Introduction : De la création d’outils au profit des physiciens
1.2. Définition du nombre i
1.3. L’ensemble C des nombres complexes
1.4. Egalité de deux complexes
2. Opérations algébriques dans C
2.1. Addition - Opposé d’un nombre complexe
2.2. Multiplication
Exercices : 32 à 36, 40, 43, 50 à 53
2.4. Conjugué et module d’un complexe - Opérations
2.5. Inverse d’un complexe non nul.
Exercices : 54, 55, 59, 38, 39, 60, 65
3. Interprétation géométrique d’un nombre complexe
3.1. Le plan complexe
3.2. Interprétation géométrique de la somme et du conjugué
3.3. Module d’un nombre complexe
3.4. Argument d’un nombre complexe non nul
3.5. Forme trigonométrique d’un nombre complexe
3.6. Détermination de la forme trigo
Exercices : 67, 68, 70, 72, 75
4. Propriétés géométriques
4.1.Propriétés évidentes de module et argument
4.2. Module et argument d’un produit
4.3. Applications géométriques
4.4. Formule de Moivre
5. Exponentielle complexe
5.1. La notation eiθ
5.2. Forme exponentielle d’un complexe
5.3. Utilité de cette forme
Exercices : 93, 94, 95, 101, 103
6.Racine carrée complexe d’un nombre réel
7. Résolution d’une équation du second degré dans C
Exercices : 105, 107, 110, 113
8. Applications aux transformations géométriques
A faire plus tard
8.1. Equations de courbes dans le plan complexe
8.2. Caractérisation complexe d’une translation
8.3. Caractérisation complexe d’une homothétie
8.4. Caractérisation complexe d’une rotation
Exercices : 118, 121, 123, 130.
L’essentiel du cours
1. Définition
i2 = −1 et z = x + iy, (x; y) ∈ R2
x est la partie réelle de z notée Re(z)
z = x + iy
;½
y est la partie imaginaire de z notée Im(z)
x = x0
z 0 = x0 + iy 0 alors z = z 0 ⇔
y = y0
2. Opérations
On considère les complexes z = x + iy
z 0 = x0 + iy 0 alors
z + z 0 = (x + x0 ) + i (y + y 0 )
zz0 = xx0 − yy 0 + (xy 0 + x0 y) i
3. Conjugué : si z = x + iy c’est le complexe z = x − iy
p
√
4. Module : c’est le réel positif noté |z| = x2 + y 2 donc |z| = zz
1
z
z
Alors, =
= 2
z
zz
|z|
5. Interprétation géométrique
Im
M(z)
y
v
O
x
u
Re
z = x + iy est l’affixe (féminin)
de ´M et à l’inverse, M est l’image de z.
³ −−
→
→
−
De plus OM = |z| et θ = u , OM est l’argument de z noté Arg(z).
Si on note ρ = |z| on a alors z = ρ (cos(θ) + i sin(θ)) forme trigo de z.
−
−→
6. Affixe d’un vecteur : si A(a) et B(b), alors le complexe b − a est l’affixe du vecteur AB.
7. Propriétés :
N ¯|zz¯0 | = |z| |z 0 | et Arg(zz 0 ) = Arg(z) + Arg(z 0 )
¯1¯
1
1
N ¯¯ ¯¯ =
et Arg( ) = −Arg(z)
z
|z|
z
N |z n | = |z|n et Arg(z n ) = nArg(z)
En notant eiθ = cos(θ) + i sin(θ) il vient z = ρeiθ forme exponentielle de z et z n = ρn eniθ
Les propriétés ci-dessus sont "prises en charge" par les propriétés de l’exponentielle.
Mais attention,
N |z + z 0 | ≤ |z| + |z 0 |
8. Nouvelle interprétation graphique : si A(a) ,B(b) et C(c)
µ
¶ ³
−−
→ −→´
c−a
Arg
= AB, AC (attention à "l’inversion" : le numérateur représente le second vecteur.)
b−a
9. Equation du second degré :
Un équation du second degré ax2 + bx + c = 0 a toujours deux solutions dans C
4Si le discriminant est positif ou nul, elles sont réelles (bien connu)
4Si le discriminant
sont complexes conjuguées.
√ est négatif les solutions
√
−b + i −∆
−b − i −∆
z1 =
et z2 =
2a
2a
10. Courbes dans le plan complexe :
¥ z = a ,(a ∈ R) est l’équation d’une droite parallèle à (Oy)
¥ z = ai ,(a ∈ R) est l’équation d’une droite parallèle à (Ox)
¥ Arg(z) = θ, (θ ∈ R) est l’équation d’une demi-droite passant par O (et faisant un angle θ avec (Ox))
¥ |z| = a ,(a ∈ R+ ) est l’équation d’un cercle de centre O et de rayon a.
¥ |z − ω| = a ,(a ∈ R+ , et ω ∈ C) est l’équation d’un cercle de centre Ω (ω) et de rayon a.
11. Transformations géométriques :
→
−
¥ t : z 7→ t(z) = z + a, (a ∈ C) est la translation de vecteur A d’affixe a.
¥ t : z 7→ z 0 tel que z 0 − ω = k (z − ω) , (k ∈ R, ω ∈ C) est l’homothétie de centre Ω (ω) et de rapport k.
¥ t : z 7→ z 0 tel que z 0 − ω = eiα (z − ω) , (α ∈ R, ω ∈ C) est la rotation de centre Ω (ω) et d’angle α.