EX 1 : ( 2 points ) 1. Écrire les nombres suivants sous forme

TS. Évaluation 6.10 - Correction
♣
E X 1 : ( 2 points )
1. Écrire les nombres suivants sous forme algébrique et sous forme exponentielle.
p ¢ ¡p
¡
¢
p
1+i 3
3+i
π
1+i 3
4i
z1 = p
=
= = i = ei 2
4
4
3−i
z 1 = i sous forme algébrique et z 1 = e i 2 sous forme exponentielle
µ
¶
1 − i 2 (1 − i)2 −2i
=
z2 =
=
= −1 = e iπ
1+i
2i
(1 + i)2
π
z 2 = −1 sous forme algébrique
1
i
z3 = i + = i − = 0
i
1
et
z 2 = e iπ sous forme exponentielle
z 3 = 0 sous forme algébrique
et comme le nombre 0 n’a pas d’argument, je ne peux pas l’écrire sous forme exponentielle
2. Quels sont les nombres complexes dont le carré est égal au conjugué ?
¡
¢2
z = x + iy donc z 2 = x + iy = x 2 − y 2 + 2ix y
On a
z = x − iy
Les nombres complexes dont le carré est égal au conjugué vérifient l’égalité : x 2 − y 2 + 2ix y = x − iy
(
x2 − y 2 = x
En identifiant les parties réelles et les parties imaginaires, j’obtiens :
2x y = −y
−1
l’égalité entre les parties imaginaires donne y = 0 ou x =
puis grâce à l’égalité entre les parties réelles j’obtiens
2

−1
(

x =
x2 = x
2
soit quatre possibilités :
respectivement
ou
3

y =0
y 2 =
4


−1
−1
(
(



x =
x
=
x =0
x =1
2
2 p
p
ou
ou
ou
3


y =0
y =0
y =
y = − 3
2
2
p
p
3
3
−1
−1
+i
ou z =
−i
Il s’agit donc des quatre nombres complexes de la forme z = 0 ou z = 1 ou z =
2
2
2
2
E X 2 : ( 2 points )
Soit (E ) l’équation z 3 − 5z 2 + 19z + 25 = 0.
1. Montrer que −1 est une solution de (E ),
puis déterminer le réel a tel que pour tout z ∈ C on ait z 3 − 5z 2 + 19z + 25 = (z + 1)(z 2 + az + 25)
(−1)3 − 5 × (−1)2 − 19 × (−1) + 25 = −25 + 25 = 0
On cherche a tel que pour tout z ∈ C on ait
Par identification
½
a + 1 = −5
⇐⇒
a + 25 = 19
2. Résoudre l’équation (E ) dans C.
z 3 − 5z 2 + 19z + 25 = 0
(z + 1)(z 2 − 6z + 25) = 0
z 1 = −1 ou z 2 − 6z + 25 = 0 ;
z2 =
½
le nombre −1 est bien solution de l’équation (E ).
z 3 − 5z 2 + 19z + 25 = (z + 1)(z 2 + az + 25)
z 3 − 5z 2 + 19z + 25 = z 3 + (a + 1)z 2 + (a + 25)z + 25
a = −5 − 1
a = 19 − 25
∆ = −64 = (8i)2
6 − 8i
= 3 − 4i ou z 3 = z 2 = 3 + 4i
2
S = {−1 ; 3 − 4i ; 3 + 4i}
d’où
a = −6.
TS. Évaluation 6.10 - Correction
♣
³ →
− →
−´
E X 3 : ( 6 points ) Le plan est muni d’un repère orthonormal direct O, u , v (unité graphique : 1 cm).
Soient A, B et I les points d’affixes respectives 1 + i, 3 − i et 2.
À tout point M d’affixe z, on associe le point M ′ d’affixe z ′ telle que z ′ = z 2 − 4z. Le point M ′ est appelé l’image de M .
1. Faire une figure et compléter cette figure tout au long de l’exercice.
b
E′
E
b
2π
3
+
A
I
b
J
π
3
b
→
−
u
+
+
B
A′
B′
b
F
2. Calculer les affixes des points A′ et B′ , images respectives des points A et B. Que remarque-t-on ?
z ′A = z 2A − 4z A = (1 + i)2 − 4(1 + i) = −4 − 2i.
z B′ = z B2 − 4z B = (3 − i)2 − 4(3 − i) = −4 − 2i. Les images des points A et B sont confondues.
3. Déterminer les points qui ont pour image le point d’affixe −5.
Je résous l’équation
z ′ = z 2 − 4z = −5 ⇐⇒ z 2 − 4z + 5 = 0 ;
∆ = −4 = (2i)2
4 − 2i
= 2 − i ou z 2 = z 1 = 2 + i
2
a. Vérifier que pour tout nombre complexe z, on a : z ′ + 4 = (z − 2)2 .
z1 =
4.
S = {2 − i ; 2 + i}
z ′ + 4 = z 2 − 4z + 4 = (z − 2)2
¯
¯
¡
¢
b. En déduire une relation entre ¯z ′ + 4¯ et |z − 2| et, lorsque z est différent de 2, une relation entre arg z ′ + 4 et arg
(z − 2).
¯
¯ ′
¯z + 4¯ = |(z − 2)2 | = |z − 2|2
¡
¢
et lorsque z est différent de 2, arg z ′ + 4 = arg (z − 2)2 = 2 arg (z − 2)
[2π]
′
c. Que peut-on dire du point M lorsque M décrit le cercle C de centre I et de rayon 2 ?
Lorsque M décrit le cercle C de centre I et de rayon 2, on a IM = 2 = |z − 2| donc |z ′ + 4| = 22 = 4 donc JM ′ = 4
M ′ décrit le cercle de centre J(−4) et de rayon 4.
5. Soient E le point d’affixe 2 + 2ei 3 , J le point d’affixe −4 et E′ l’image de E.
³→
− −
→´
a. Calculer la distance IE et une mesure en radians de l’angle u ; IE .
π
³ π´ π
³→
³ ´
− −
→´
i
→ = arg 2e 3 =
u ; IE = arg z −
IE
3
³→
− −→′ ´
′
b. Calculer la distance JE et une mesure en radians de l’angle u ; JE .
i
i
i
→ | = |z E − z I | = |2 + 2e 3 − 2| = |2e 3 | = 2|e 3 | = 2
IE= |z −
IE
π
π
π
JE′ = |z −→′ | = |z E ′ + 4| = |z E − 2|2 = I E 2 = 4
JE
³→
´
³→
³
π 2π
− −
→´
− −→′ ´
u ; JE = arg z −→′ = arg (z E ′ + 4)= 2× arg (z E − 2) = 2 × u ; IE = 2 × =
[2π]
JE
3
3
c. Construire à la règle et au compas le point E′ ; on laissera apparents les traits de construction.
[2π]