Correction du devoir maison no 12. Exercice 1 (no 191 page 228) On considère la suite de!nombres complxes (zn ) définie par z0 = 1 et pour tout √ 3 3 zn . +i n > 0, zn+1 = 4 4 On note An le poin d’affixe zn . 1. (a) Écrire sous forme √ algébrique les nombres z1 à z6 . 3 3 . Posons Z = + i 4 4 Il est clair que (zn ) est la suite géométrique (à√valeurs complexes) de 3 3 premier terme z0 = 1 et de raison q = Z = + i . r r √ 4 √4 √ 9 12 3 3 2 3 |Z| = a2 + b2 = + = = = . 16 16 16 4 2 Soit θ un argument de Z.√ a 3 3 2 cos θ = = ×√ = . |Z| √ 4 2 3 1 3 2 b = ×√ = . sin θ = |Z| 4 2 3 π [2π]. Donc θ = 6√ 3 iπ e 6. Donc Z = 2 Pour tout n ∈ N, z = Z n. √ ! n √ 3 3 3 3 z1 = ×1 = +i +i . 4 4 4 4 !2 √ ! √ √ 3 iπ 3 3 3 3 3 1 3 iπ = +i e6 +i . z2 = = e3 = 2 4 4 2 2 8 8 !3 √ √ √ !3 √ 3 3 3 iπ 3 3 3 π 3π e6 × ei 2 = i . = ei 6 = z3 = 2 2 8 8 !4 √ √ 3 iπ 9 3 9 i 2π 9 9 i 4π z4 = e6 . = e 6 = e 3 =− +i 2 16 16 32 32 !5 √ √ √ 3 iπ 9 3 27 9 3 i 5π e6 e 6 =− +i . z5 = = 2 32 64 64 !6 √ 3 iπ 27 27 e6 z6 = = eiπ = − . 2 64 64 (b) Dans un repère d’unité 8 cm, placer les points Ai pour i variant de 1 à 6. 1 b A3 A2 b 0.6 b A4 0.5 b A1 0.4 0.3 A5 b 0.2 0.1 b A6 b −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 O b 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 A0 1.0 −0.1 2. Pour tout entier n, on pose dn = |zn+1 − zn |. (a) Vérifier que pour tout n > 1, zn+1 − zn = √ ! 3 3 (zn − zn−1 ). +i 4 4 Pour tout n > 1, √ ! √ ! 3 3 3 3 (zn − zn−1 ) = zn − +i +i 4 4 4 4 = zn+1 − zn √ ! 3 3 zn−1 +i 4 4 (b) En déduire une relation entre dn+1 et dn , puis dn en fonction de d0 . En passant aux modules, il vient, pour tout n > 1, √ 3 3 |zn+1 − zn | = + i × |zn − zn−1 | 4 4 dn = |Z|dn−1 √ 3 dn = dn 2 √ 3 . La suite (dn ) est donc géométrique de raison 2 r √ √ 3 1 3 3 1 3 1 d0 = |z1 − z0 | = + i − 1 = − + i + = . = 4 4 4 4 16 16 2 D’après le terme général d’une suite géométrique, pour tout n > 0, dn = d0 × q n . √ !n 1 3 Pour tout n > 0, dn = × . 2 2 (c) Donner une interprétation géométrique de dn . dn = |zn+1 − zn | = An+1 An . Pour tout entier n, dn est la longueur du segment [An An+1 ]. (d) Soit Ln = n X Ak Ak+1 la longueur de la ligne polygonale de sommets suc- k=0 cessifs A0 , A1 , . . . , An+1 . Déterminer Ln en fonction de n et la limite de Ln quand n tend vers +∞. 2 D’après la somme des termes d’une suite géométrique, Ln = n X dk k=0 = = = = √ √ !n+1 3 1− 2 √ d0 × 3 1− 2 √ !n+1 1 3 2 × √ 1− 2 2 2− 3 √ !n+1 √ 3 2+ 3 1− 4−3 2 √ !n+1 √ 3 (2 + 3) 1 − 2 3 < 1, donc lim Or, −1 < n→+∞ 2 √ !n+1 3 = 0. 2 Par somme et produit, on en déduit que lim Ln = 2 + n→+∞ √ 3. 3. Pour tout entier n, on pose an = arg(zn ). On montre facilement par récurrence que pour tout n, zn 6= 0, et la suite (an ) est donc bien définie (les termes sont définis modulo 2π car ce sont des arguments de nombres complexes). (a) Établir une relation entre an et!an+1 . √ 3 3 On sait que zn+1 = zn . +i 4 4 √ ! 3 3 + arg(zn ) [2π] +i arg(zn+1 ) = arg 4 4 π arg(zn+1 ) = + arg zn [2π] 6 π + an [2π] an+1 = 6 (b) En déduire an en fonction de n. π Par définition, la suite (an ) est arithmétique de raison r = . 6 a0 = arg z0 = arg 1 = 0 [2π]. nπ Donc pour tout n > 0, an = a0 + nr = [2π]. 6 (c) Pour quelles valeurs de n les points O, A0 et An sont-ils alignés ? Les points O, A0 et An sont alignés si et seulement si An appartient à l’axe des abscisses. Cela équivaut à dire que zn est réel, soit arg(zn ) = 0 [π]. nπ n Cela est encore équivalent à = 0 [π], soit est un nombre entier. 6 6 Les points O, A0 et An sont alignés si et seulement si n est multiple de 6. 3