Les nombres complexes

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Mathématiques Bac STI
Les nombres complexes
Pour bien comprendre les complexes, il faut voir cet objet mathématique comme un moyen simple et élégant d’opérer
dans un espace à deux dimensions que l’on peut représenter par un plan. Il y a très souvent un exercice sur les
complexes au bac. Pour mettre toutes les chances de son côté il faut donc s’exercer sur des problèmes de calculs
complexes mais aussi sur leurs applications à la géométrie.
1. Généralités
L’écriture z  x  iy avec x et y réels est appelée forme algébrique du nombre complexe z . x est la partie réelle de
z , notée Re(z), y est la partie imaginaire de z , notée Im(z).
Deux nombres complexes sont égaux si et seulement si, ils ont la même partie réelle et même partie imaginaire.
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 2. Le conjugué
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Le conjugué
d’un complexe z  x 
complexe x  iy noté z .
 iy est le
z est réel équivaut à z  z .
z est imaginaire pur équivaut à z  z .
z  z'  z 
z'
Si z  0 ,
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z.z'  z.z'
1  1

 
z  z
zn  z
z'  z'
 
z  z
n
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3. Module et argument d’un complexe
Le module d’un nombre complexe z  x  iy est z  x 2  y 2 .
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On prend un complexe z dont la représentation dans le plan complexe est M . On appelle alors argument de z et on
note arg( z) toute mesure en radians, de l’angle orienté que fait OM avec l’axe des abscisses.
Attention, l’argument d’un complexe n’est pas unique. arg( z) 2k où k   est aussi un argument de z .
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z)   .
z)  0 ou arg(
z est réel équivaut à arg(
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

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est
imaginaire
pur
équivaut
à
ou
.
arg(
z)

arg(
z)


z
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2
2 
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Inégalité triangulaire : z  z'  z  z' .
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1 
1 1
 et arg  arg( z) .
z.z'  z .z' et arg( z.z')  arg( z) arg( z').
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z 
z z
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n
 naturel n non nul, z n  z et arg( zn )  narg( z) .
Pour tout entier
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
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4. Forme exponentielle
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Si z est un nombre complexe non nul, r son module et  un argument de z tel que   0;2 , alors l'écriture
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exponentielle
de z .
z  rei est appelée forme
i
i
Pour tout réel  , e  1 et arg( e )   .
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1
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ei ei  ei(  ) , i  ei et le conjugué de ei est ei .
e
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i n
in
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Formule
: Pour tout entier naturel non nul n , e   e .
de Moivre
ei 
ei 
ei  ei
Formules d’Euler : cos( ) 
et sin( ) 
.
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2
2
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5. Nombres complexes et transformations
w est un vecteur d’affixe b .
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z
a z  b.
L’écriture complexe de la translation de vecteur w est 
k un réel non nul.
z
a kz .
L’écriture complexe de l’homothétie de centre O et de rapport k est 
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 un réel.
O et d’angle  est 
z
a ei z .
L’écriture complexe de la rotation de 
centre 
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