Les nombres trigonométriques x y −1 − 1 −1 − 1 α sinα cosα tanα

4ème MATH 5
Trigonométrie dans le cercle - 16 mars 2014
π
2π
Les quadrants
π
2
3
3
3π
π
4
4
Q2
5π
π
6
6
Q1
+
π
Q3
Q4
−
0
5π
−
6
−
3π
4
−
2π
3
y
1
sin α =
1
2
sin α
α
cos α
− 12
2
−
6
π
4
3
L’ angle α vaut 30◦ dans cet
exemple (π/6 en radians). Le
sinus de α, qui est la “longueur”
du segment rouge, est
Les nombres trigonométriques
−1
−
−
π
π
π
tan α =
sin α
cos α
x
1
− 12
−1
1
2
Le théorème de Pythagore permet d’écrire cos2 α + sin2 α = 1.
Donc, la longueur du segment
bleu, qui est le cosinus de α, doit
être
p
p
3
cos α = 1 − 1/4 =
2
Cela implique que tan α, qui est
la longueur du segment orange,
est
p
sin α
3
tan α =
=
cos α
3
π
3
cotg x
p
3
p2
2
2
π
4
π
6
1
2
tan x
sin x
x
p
cos x
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1
2
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p
2
2
p
3
2
F. Lancereau
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Trigonométrie dans le cercle - 16 mars 2014
Le cercle trigonométrique au complet !
y
(0,1)
−
−
p
3 1
,
2 2
p − 12 , 23
p 2
2
,
2
2
p
π
2
3π
4
90
5π
6
60◦
135
150◦
(−1,0)
π
−
p
3
, − 21
2
−
p 2
2
,
−
2
2
− 21 , −
300◦
4π
3
5π
3
3π
2
3
2
p
7π
4
270
p
x
11π
6
315◦
◦
p
2π
330◦
225◦
240◦
5π
4
(1,0)
360
0◦ ◦
210◦
30◦
180◦
7π
6
3 1
,
2 2
π
6
45◦
◦
p
π
4
◦
120◦
p 2
2
,
2
2
p
π
3
2π
3
p 1
3
,
2 2
3
, − 21
2
p
p 2
2
,
−
2
2
p 1
3
,
−
2
2
(0, − 1)
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Trigonométrie dans le cercle - 16 mars 2014
Exercice no 1
Définir avec précision les notions suivantes :
1. un angle de 1 radian
2. le cercle trigonométrique
Exercice no 2
Donner la mesure principale des angles suivants puis les placer sur le cercle trigonométrique :
1°
2°
5π
3
−13π
6
3°
4°
π
y
12
−17π
2
x
Exercice no 3
Soit un cercle dont le rayon vaut 6 cm. Quelle est la longueur de l’arc intercepté par un angle au
centre de 4,5 radians ?
Exercice no 4
1. Quelle est la longueur d’un arc d’un radian sur un cercle ?
2. Quelle est l a mesure en radian d’un arc de longueur 8cm sur un cercle de rayon 5cm ?
3. Sur le cercle x 2 + y 2 = 1 on va du point (0 ;-1) au point (1 ;0) dans le sens des aiguilles
d’une montre. Quel arc a-t-on parcouru ?
4. Sur le cercle x 2 + y 2 = 4 on part du point A(4 ;0) et on parcourt 1 rad pour arriver au point
B. Quelle est sa coordonnée ?
5. En parcourant 15 rad sur le cercle trigonométrique à partir du point (1 ; 0) on arrive en un
point que l’on vous demande de placer sur le dessin du cercle (sans rapporteur).
6. Trouver l’angle formé par les aiguilles d’une montre lorsqu’il est 20 h 15 (valeur exacte en
radian) .
Exercice no 5
Questionnaire à choix multiple (plusieurs bonnes réponses possibles)
1. La mesure en radians d’un angle de 210° est :
7π
5π
❒
❒ −
6
6
❒ 3,6
2. Soit M le point du cercle trigonométrique C associé au réel a =
❒ 66,8 rad
3π
. Parmi les points
7
associés aux réels donnés ci-dessous, quels sont ceux qui sont confondus avec le point M ?
10π
11π
32π
17π
❒
❒ −
❒ −
❒
7
7
7
7
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Trigonométrie dans le cercle - 16 mars 2014
3. La mesure principale d’un angle de
8π
3
est :
2π
5π
π
❒
❒
❒
3
3
3
3
17π
est :
4. La valeur exacte de cos
4
p
p
p
2
2
3
1
❒
❒ −
❒
❒
2
2
2
2
10π
5. Soit a = −
. Alors :
3
p
p
3
3
1
1
❒ cos(a) = − et sin(a) =
❒ cos(a) = et sin(a) =
2
2
2
2
p
p
1
1
3
3
❒ cos(a) =
et sin(a) =
❒ cos(a) = − et sin(a) = −
2
2
2
2
o
Exercice n 6
Les sous-questions suivantes sont indépendantes l’une de l’autre :
❒ −
2π
1. calculer la valeur exacte de sin(α) et cos(α) sachant que α est dans le quatrième quadrant
et que tan(α) = −2
2. Recopier et compléter le tableau suivant en donnant des valeurs exactes. (il ne sera tenu
aucun compte de valeurs approximatives données par la calculatrice.)
x radians
−
mesure en degrés
π
−
6
45o
π
13π
3
2
90o
1
−
2
p
3
cos x
sin x
2
Exercice no 7
Sur le cercle trigonométrique, représenter :
1. un angle α appartenant au deuxième quadrant
2. sin α et cos α
Préciser le signe de ces deux nombres trigonométriques (sin α et cos α)
Exercice no 8
Calculer les nombres trigonométriques de l’angle θ , sachant que :
5
1. θ est un angle du deuxième quadrant et sin θ =
13
p
π 3π
;
et tan θ = 2
2. θ ∈
2 2
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Trigonométrie dans le cercle - 16 mars 2014
Exercice no 9
Simplifier les expressions trigonométriques suivantes :
cos α
cos α
1.
+
et rechercher les conditions d’existence
1 − sin α 1 + sin α
tan (3π − x) − cotg (−x)
SANS rechercher les conditions d’existence
2.
cotg (5π + x) + tan (2π − x)
Exercice no 10
Vrai ou faux ?
1. il existe une infinité d’angles qui ont un sinus valant 0,2
2. la fonction cosinus est croissante sur [0 ; π]
3. l’équation trigonométrique sin (x) = 3 n’admet aucune solution.
Autres exercices
−
→ −→
On retiendra que (OA,OB) est la notation utilisée pour signifier l’ensemble des mesures de
Õ
l’angle orienté A
OB.
Exercice no 11
157π
−
→ −→
On a (OA,OB) =
+ 2kπ (k ∈ Z).
5
1° Donner la mesure principale θ de cet angle orienté.
2° Son cosinus est-il positif ou négatif ? (Justifier par un schéma).
Exercice no 12
1
Résoudre dans ] − π; π] l’équation sin x = .
2
Exercice no 13
Soit un repère orthonormé direct. On donne les points I(1; 0), J(0; 1) et K(1; 1). Soit C le centre
du carré OI K J.
1° Tracer la figure.
−
→ −→
2° Combien mesure l’angle (C I,OJ ) ?
−
→−
→
3° Combien mesure l’angle (OI,K J) ?
−
→ −→
4° Combien mesure l’angle ( IO,C K) ?
Exercice no 14
Résoudre dans [0; 2π[ l’inéquation cos x ¶
p
2
2
.
Exercice no 15
p
p
Soit un repère orthonormé direct. On donne les points A( 3; 1), B(1; − 3) et I(1; 0).
1° Déterminer les coordonnées polaires de A et B.
−
→ −→
2° Donner la mesure principale θ de l’angle (OA,OB). En déduire la nature du triangle OAB.
3° Déterminer les coordonnées polaires du point C tel que OAC B soit un parallélogramme.
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Trigonométrie dans le cercle - 16 mars 2014
Exercice no 16
3
On sait d’un angle orienté que sa mesure principale θ est négative et que son cosinus vaut − .
5
Calculer les valeurs exactes de son sinus et de sa tangente.
Exercice no 17 - Du Havre à Tarbes
Un ver de terre doit se rendre du Havre à Tarbes. Il peut y aller « tout droit » à la surface de la
Terre, mais il peut faire un trajet souterrain en ligne droite. A votre avis, de combien raccourciraitil alors sont trajet : de 1 km, 10 km ou 100 km ?
Données : les latitudes de Tarbes et Le Havre sont respectivement 43°10′ et 48°30′ et ces deux
villes sont sur un même méridien.
Exercice no 18 - Le problème des aiguilles
1. Modélisation du mouvement
On représente une horloge par un cercle de centre O. La petite aiguille, qui compte les heures,
a pour extrêmités les points O et P, la grande, qui compte les minutes, a pour extrêmités O
et G. Le point A est la position de G à minuit pile. Désignons par t le temps écoulé en heures
depuis minuit (0 heure).
Montrer que pour 0 ¶ t < 24, on a :

−
→ −→
 (OA,OG) = −2πt (2π)
−2π
→ −→
 (−
OA,OP) =
t (2π)
12
2. Etude d’un exemple
Lorsqu’il est 11h12min, donner en radians puis en degrés une mesure de l’angle orienté des
deux aiguilles ?
3. Superposition
On se demande à quelles heures dans une journée de 24 heures, les deux aiguilles sont superposées.
−→ −→
a) Donner une mesure à 2kπ près de l’angle (OG,OP) lorsque cet événement se produit.
b) En déduire une valeur de t donnant toutes les solutions exactes.
c) Indiquer le nombre de fois dans la journée où les deux aiguilles sont superposées.
d) Fournir une valeur approchée à la seconde près, exprimée en heures, minutes et secondes
d’une des solutions qui ne soit pas un nombre entier d’heures.
4. Symétrie
On se demande maintenant à quelles heures dans une journée de 24 heures, [OG) et [OP)
sont symétriques par rapport à (OA). Adopter le même mode de réponses que pour la question
précédente.
5. Orthogonalité
Enfin, on se demande à quelles heures dans une journée de 24 heures, les deux aiguilles sont
perpendiculaires. Adopter le même mode de réponses que pour les questions précédentes.
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