2 - Editions Ellipses
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chapitre 1 Nombres complexes 1. Calcul du module et de l’argument d’une puissance d’un nombre complexe. 2. Simplification d’un rapport de nombres complexes. 3. 4. Pour montrer qu’un nombre complexe est réel. 5. 6. 7. 8. Pour montrer qu’un nombre complexe est imaginaire pur. Racines carrées d’un nombre complexe. Racines n -ièmes d’un nombre complexe. Factorisation d’un polynôme réel. Linéarisation des expressions de la forme cosm x sinn x où m , n N . 9. Calcul de cos(nR) et de sin(nR) en fonction de puissances de cos(R ) et de sin(R) . 10. Écriture de 1 eiR et de 1 eiR (R R ) sous la forme reiB avec (r , B) R 2 . 11. Simplification de sommes de cosinus (resp. sinus). méthode 1 Calcul du module et de l’argument d’une puissance d’un nombre complexe ´ Pour calculer le module et l’argument d’une puissance d’un nombre complexe, on calcule d’abord le module et l’argument de ce nombre, puis on l’élève à la puissance voulue. Exemple Calculer le module et l’argument du nombre complexe z (1 i 3 ) 20 . Comme Q 1 i 3 ­­¬ 3 (1 i 3) 2 i ­­ 2e 2 2 ® donc 1 i 3 2 et arg(1 i 3) Q [2Q] 3 d’où 20 20 Q iQ ¬ i z (1 i 3) 2 e 3 ­­­ (2)20 e 3 ®­ 20 i 220 e (182) Q 3 i 220 e 2Q 3 et par suite z (1 i 3)20 220 et argz 2Q [2Q]. 3 Exercice • Calculer le module et l’argument de chacun des nombres complexes suivants : 5 4 a. 1 i ; 3 Nombres complexes 1 i ¬­ ­ ; b. 1 i ­® 14 1 i 3 ¬­ ­ c. 3 i ­­ ; ® 7 4 ­¬ ­ . d. 1 i 3 ­® ´ 2 méthode Simplification d’un rapport de nombres complexes Pour simplifier un rapport de nombres complexes, on multiplie le numérateur et le dénominateur par l’expression conjuguée du dénominateur. Exemple Simplifier le nombre complexe z 2i . (4 i)(1 3i) Comme l’expression conjuguée du dénominateur est (4 i)(1 3i), z 2i (4 i)(1 3i) 2i(4 i)(1 3i) (4 i)(1 3i)(4 i)(1 3i) 2i(4 i)(1 3i) (42 12 )(12 32 ) 2i(4 i 12i 3) 17 ¸ 10 22 14i 170 11 7 i ¸ 85 85 Exercice • Simplifier les nombres complexes suivants : a. 3 i 3 4i f. (5 2i)(2 3i) (i 3)(3i 4) b. 1 i i g. 7i 2 i c. (2 i)(3 i) 4i h. 1 i 3 1 i d. 4 3i i 1 i. 1 i ¬­ 1 i ­­® e. 5 3i (4 i)(1 3i) j. 1 i 3 ¬­ ­ 1 i ­­ . ® 3 2 15 méthode 3 Pour montrer qu’un nombre complexe est réel ´ Pour montrer qu’un nombre complexe est réel, on montre que : • soit sa partie imaginaire est nulle, • soit qu’il est égal à son conjugué, • soit son argument est congru à 0 modulo Q. Exemple 1 eiB ¬­ ­ avec B 2QZ . Soit z i 1 eiB ®­­ Montrer que z est un nombre réel. On a : z 1 eiB ¬­ ­ i iB ­ 1 e ­® i ¸ eiB 1 eiB ¬­ ­ eiB 1 eiB ­­® eiB 1¬­ ­­ i iB e 1­® 1 eiB ¬­ ­ i iB ­ 1 e ­® z Donc z z et par suite z est un nombre réel. Exercices • Ex. 1. À tout point M d’affixe z v 1, on associe le point M ' d’affixe z ' que z ' 1 est réel. z 1 z 1 . Établir 1 z • Ex. 2. Démontrer que, quels que soient les nombres complexes z , z ' de module 1 et z z' est réel. vérifiant zz ' 1 v 0 , le nombre Z 1 zz ' Nombres complexes • Ex. 3. Déterminer l’ensemble des nombres complexes z tels que 16 réel. z 2 soit un nombre z 2i ´ méthode 4 Pour montrer qu’un nombre complexe non nul est imaginaire pur Pour montrer qu’un nombre complexe non nul est imaginaire pur, on montre que : • soit sa partie réelle est nulle, • soit qu’il est égal à l’opposé de son conjugué, Q modulo Q. • soit son argument est congru à 2 Exemple Soit z i 1 . Montrer que z est un imaginaire pur. 2i On a : z 1 2i z i donc z est un imaginaire pur. Exercices • Ex. 1. Déterminer l’ensemble des nombres complexes z tels que z 1 soit imaginaire z 1 pur. • Ex. 2. Déterminer l’ensemble des nombres complexes z tels que pur. z 1 soit imaginaire z i • Ex. 3. À tout point M d’affixe z v 1, on associe le point M ' d’affixe z ' complexe z ' 1 est-il imaginaire pur ? z 1 • Ex. 4. Déterminer l’ensemble des nombres complexes z tels que naire pur. z 1 . Le nombre 1 z z 2 3i soit imagiz 2i 17 méthode 5 Racines carrées d’un nombre complexe ´ Pour déterminer les racines carrées de z a ib , il est préférable de procéder par identification, c’est-à-dire chercher les nombres réels x ,y tels que : (x iy )2 a ib . L’égalité des parties réelles, des parties imaginaires et des modules permettent d’écrire le système suivant : £¦ x 2 y 2 a ¦¦ ¦ 2xy b ¤ ¦¦ 2 ¦¦x 2 y 2 a b2 ¦¥ d’où x 2 et y 2 puis x ,y en utilisant le fait que xy est du signe de b . Exemple Calculer les racines carrées de z 3 4i . On résout le système suivant : ¦£¦ x 2 y 2 3 (1) ¦¦ (S ) : ¤ 2xy (2) 4 ¦¦ 2 2 ¦¦x 2 y 2 3 (4) 5 (3) ¥¦ Or (S) est équivalent au système : £¦2x 2 ¦¦ ¦¤2xy ¦¦ 2 ¦¦¥ 2y ou encore £ ¦ x ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ (S ) ¤¦ ¦ ¦ ¦ x ¦ ¦ ¥ 8 (1) (3) (2) 4 2 (3) (1) et y ou 2 et y 2 £¦ x ¦¦ ¦ ¦¦¤¦ y ¦¦ ¦¦ xy ¦¥ o2 o1 0 1 1 Les racines carrées de z sont donc : z1 2 i et z 2 2 i . Nombres complexes Exercices 18 Déterminer les racines carrées des nombres complexes suivants : • Ex. 1. 1 2i ; • Ex. 3. 1 i ; • Ex. 2. 4 i ; • Ex. 4. 1 i 3 . ´ 6 méthode Racines n-ièmes d’un nombre complexe non nul Pour trouver l’ensemble des racines n -ièmes d’un nombre complexe non nul z , on commence d’abord par le mettre sous forme trigonométrique z SeiR , ensuite on cherche une racine n -ième de z , puis on multiplie par les racines n -ièmes i de l’unité uk e 2k Q n avec k \0,1,2,...,n 1^ . Exemple Trouver les racines 5e de z (1 i) . i Q Comme : (1 i) 2 e 4 , donc une racine 5e de z est : z0 d’où les racines 5e de z sont : 10 zk 1 Q¬ i ¸ ­­­ e 5 4® i Q 2 e 20 z 0uk 1 5 2 10 Q 2k Q ¬­ ­ i 5 ®­ 2 e 20 avec k \0,1,2,3,4^ . Exercices • Ex. 1. Déterminer les racines cubiques de 4 2(1 i) . • Ex. 2. Déterminer les racines cubiques de 4 2(1 i) . • Ex. 3. Déterminer les racines cubiques de £ ² 1 itan R Q où R R \ ¦¤(2k 1) ,k Z¦» . ¦¥¦ ¦¼¦ 1 itan R 2 • Ex. 4. Calculer les racines 4e du nombre complexe z 8( 1 i 3) . • Ex. 5. Calculer les racines 5e du nombre complexe z 32i . • Ex. 6. Déterminer les racines 4e du nombre complexe z 1 i 3 . 1 i 3 19 méthode 7 Factorisation d’un polynôme réel ´ Quand on cherche à factoriser un polynôme réel P et qu’on a trouvé une racine imaginaire z , on sait que z est aussi racine de P . Exemples 1. Factoriser le polynôme : P z 3 z 2 z 1. Comme z1 i est une racine de P , donc z 2 i est aussi racine de P et par suite P (z i)(z i)(z 1) . 2. Factoriser le polynôme : P z 3 z 2 z 1. Comme z1 i est une racine de P , donc z 2 i est aussi racine de P et par suite P (z i)(z i)(z 1) . Remarque Toute fonction polynôme de degré n, à coefłcients dans C admet n racines distinctes ou non. En particulier, si on a trouvé par exemple n racines grâce à des relations sur les arguments, on obtiendra toutes les racines. Exercice • Factoriser les polynômes suivants : a. P z 3 1 ; b. P z 3 1 ; c. P z 6 1 ; d. P z 5 z 4 z 3 z 2 z 1 ; e. P z 6 1 ; f. P z 4 z 2 1 ; Nombres complexes g. P z 4 z 2 1 ; 20 h. P z 7 z 6 z 5 z 4 z 3 z 2 z 1 .
