Résumé du cours

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Définitions
Définition d’un nombre complexe.
Définition 1
• On appelle nombre complexe un nombre de la forme z = a + i b où a et b sont deux réels et
i un symbole tel que i2 = −1.
• L’ensemble de tous les nombres complexes se note C
Dans tout ce qui suit a et b seront deux réels.
Partie réelle et imaginaire, forme algébrique.
Définition 2
• Le réel a est appelé partie réelle du nombre complexe z = a + i b,
on le note Re(z).
• Le réel b est appelé partie imaginaire du nombre complexe z = a + i b,
on le note Im(z).
• L’écriture z = a + i b est appelée forme algébrique du complexe z.
Nombre complexe imaginaire pur.
Définition 3
• On appelle imaginaire pur un nombre complexe dont la partie réelle est nulle.
• L’ensemble des nombres imaginaires purs se note i R.
• z ∈ i R ⇔ Re(z) = 0
Nombres complexes conjugués.
Définition 4
Soit le nombre complexes z = a + i b, on appelle conjugué de z le nombre complexe noté z et
défini par :
z = a +ib = a −ib
z=z
On remarque que
Module d’un nombre complexe.
Soit z = a + i b, on appelle module de z, le nombre réel positif noté | z | et défini par
Définition 5
|z | =
Soit
p
zz =
p
a2 + b2
zz = | z |2
Propriétés
Égalité de deux nombres complexes.
Deux nombres complexes sont égaux si et seulement si ils ont même partie réelle et même
partie imaginaire :
Propriété 1
z = z 0 ⇔ Re(z) = Re(z 0 ) et Im(z) = Im(z 0 )
En particulier
z = 0 ⇔ Re(z) = Im(z) = 0
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Sommaire chapitre 4
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Soit z = a + i b, alors :
z + z = 2a = 2 Re(z) z − z = 2 i b = 2 i Im(z)
Propriété 2
a = Re(z) =
z +z
2
b = Im(z) =
z −z
2i
zz = a 2 + b 2 = | z |2
Propriété 3
Pour z 0 6= 0 on a
z × z0
z
=
0
z
| z 0 |2
z + z0 = z + z0
z × z0 = z × z0
Propriété 4
zn = zn
³z´ z
=
z0
z0
µ ¶
1
1
=
z
z
¯
¯
¯ ¯
¯ z + z0 ¯ 6 | z | + ¯ z0 ¯
¯
¯
¯ ¯
¯ z × z0 ¯ = | z | × ¯ z0 ¯
| z n | = | z |n
¯ z ¯ |z |
¯ ¯
¯ 0 ¯= 0
|z |
z
¯ ¯
¯1¯
¯ ¯= 1
¯ z ¯ |z |
Résolution dans C de l’équation à coefficients réels az 2 + bz + c = 0.
Soit ∆ = b 2 − 4ac, alors :
Propriété 5
• Si ∆ > 0, deux solutions réelles distinctes :
p
p
−b + ∆
−b − ∆
z1 =
et z 2 =
2a
2a
• Si ∆ = 0, une solution double réelle : z 0 = −
b
2a
• Si ∆ < 0, deux solutions complexes conjuguées :
p
p
−b + i −∆
−b − i −∆
z1 =
et z 2 = z 1 =
2a
2a
Aspect géométrique.
¡ − →
¢
Le plan est muni d’un repère orthonormé direct O, →
e1, −
e2
Affixe et point
¡
¢image.
A tout point M a, b on associe un unique complexe z M = a + i b appelé
Définition 6
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affixe du point M. Réciproquement, a tout nombre complexe z = a + i b on associe un unique
point M de coordonnées (a, b) appelé point image du complexe z = a + i b.
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¡ ¢
On note M z le point d’affixe z, on écrira également Aff (M) = z M .
Propriété 6
Le nombre complexe z est un nombre réel, si et seulement si son point image appartient à
l’axe des abscisses.
Le nombre complexe z est un imaginaire pur, si et seulement si son point image appartient à
l’axe des ordonnées.
¡− ¢
−
−
L’affixe du vecteur →
u (x, y) est le nombre complexe notée Aff →
u ou Z→
u définit par
Définition 7
Propriété 7
¡− ¢
Aff →
u = x +iy
Soit M le point d’affixe z M , alors
| z M | = OM
Soient A et B deux points d’affixes respectives z A et z B alors
Théorème 1
AB = | z B − z A |
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