Chapitre 2 : Fonctions usuelles II

MPSI 1
Chapitre 2 : Fonctions usuelles
2012
II - 2)b) Fonction arcsinus
h π πi
(à valeurs dans [−1, 1]).
La fonction sinus est continue et strictement croissante sur l’intervalle − ,
2 2
h π πi
D’après le théorème de la bijection, elle est bijective de − ,
dans [−1, 1], et elle admet une bijection réciproque,
2 2
notée arcsin.
Définition 1 :
h π πi
La fonction arcsinus, notée arcsin, est la bijection réciproque de la fonction sinus restreinte à − , .
2 2
Proposition 1 :
h π πi
1. arcsin est une bijection continue, strictement croissante de [−1, 1] dans − , .
2 2
2. arcsin est dérivable sur ] − 1, 1[ et ∀x ∈] − 1, 1[, arcsin0 (x) = √
1
.
1 − x2
démo : 2) La fonction sin admet pour dérivée cos qui s’annule en π2 = arcsin 1 et − π2 = arcsin(−1).
Donc sin est dérivable sur ] − π2 , π2 [ et sa dérivée ne s’annule pas sur cet intervalle. J’applique donc le théorème de la bijection
1
pour conclure que arcsin est dérivable sur ] − 1, 1[. De plus, pour tout x ∈] − 1, 1[, arcsin0 (x) =
.
cos
◦
arcsin(x)
p
Il reste à exprimer cos ◦ arcsin(x) = cos(arcsin(x)) = 1 − x2 en utilisant cos2 θ = 1−sin2 θ et le fait que arcsin(x) ∈]− π2 , π2 [
1
pour tout x ∈] − 1, 1[.
donc son cosinus est positif. Je peux donc conclure que arcsin0 (x) = √
1 − x2
Remarques :
1. ∀x ∈ [−1, 1], cos(arcsin x) =
√
1 − x2 .
2. Soit x ∈ [−1, 1]. arcsin x est hl’uniquei réel de [− π2 , π2 ] qui a x pour sinus.
π π
, arcsin x = y ⇐⇒ x = sin y.
Pour tous x ∈ [−1, 1] et y ∈ − ,
2 2
3. arcsin n’est pas dérivable en −1 et en 1 (car la fonction cosinus s’annule en − π2 = arcsin(−1) et en
π
2 = arcsin(1)). La courbe de la fonction arcsin a des tangentes verticales aux points d’abscisses −1 et
1.
Retenez
∀x ∈ [−1, 1], sin(arcsin x) = x .
h π πi
∀x ∈ − ,
, arcsin(sin x) = x .
2 2
Proposition 2 : La fonction arcsinus est une fonction impaire.
démo : C’est la bijection réciproque d’une fonction impaire.
Questions 1 :
- Montrer que, pour tout x ∈ [−1, 1], arcsin x + arccos x =
π
2.
- Pour x ∈ [−1, 1], exprimer arccos(−x) en fonction de arccos x.
26π
- Calculer arcsin(sin π3 ), arcsin(sin 2π
3 ), arcsin(sin 3 ), arcsin(sin 4π).
- Représenter graphiquement la fonction f : x 7→ arcsin(sin x).
Magali Hillairet
Lycée Clemenceau, Nantes
Chapitre 2 : Fonctions usuelles
MPSI 1
2012
II - 2)c) Fonction arctangente
i π πh
(à valeurs dans R).
La fonction tangente est continue et strictement croissante sur l’intervalle − ,
2 2
On a limπ tan x = −∞ et lim
tan
x
=
+∞.
−
x→− 2 +
x→ π
2
i π πh
D’après le théorème de la bijection, elle est bijective de − ,
dans R, et elle admet une bijection réciproque,
2 2
notée arctan.
Définition 2 :
arctangente, notée arctan, est la bijection réciproque de la fonction tangente restreinte à
iLa πfonction
πh
− , .
2 2
Proposition 3 :
i π πh
1. arctan est une bijection continue, strictement croissante de R dans − , .
2 2
2. arctan est dérivable sur R et ∀x ∈ R, arctan0 (x) =
1
.
1 + x2
démo : Rédigez une démonstration du point 2).
On retiendra aussi :
i π πh
Pour tout x ∈ R, arctan x est l’unique réel de − ,
tel que x soit sa tangente.
2 2
lim arctan x = −
x→−∞
Et
π
2
et
lim arctan x =
x→+∞
π
.
2
∀x ∈ R, tan(arctan x) = x .
i π πh
∀x ∈ − ,
, arctan(tan x) = x .
2 2
Questions 2 :
- Étudier et simplifier la fonction f définie sur R∗ par f (x) = arctan x + arctan x1 .
- Pour x ∈ R, exprimer simplement cos(arctan x) et sin(arctan x).
- Représenter graphiquement la fonction f : x 7→ arctan(tan x).
- En étudiant pour a fixé la fonction fa : x 7→ arctan
ab 6= 1, on a :
arctan a + arctan b = arctan
Magali Hillairet
a+b
+ λπ
1 − ab
a+x
, montrer que, pour tout (a, b) ∈ R2 tels que
1 − ax
avec

 λ = 0 si ab < 1
λ = 1 si ab > 1 et a > 0
.

λ = −1 si ab > 1 et a < 0
Lycée Clemenceau, Nantes