Primitives Base raisonnée d’exercices de mathématiques (Braise) Elément de cours des exercices Fonctions trigonométriques réciproques 1 1.1 Fonction arcsinus Définition h π πi La fonction sinus est continue et strictement croissante sur − , , qu’elle applique 2 2 bijectivement sur [−1, 1]. Elle admet donc une bijection réciproque définie sur [−1, 1], appelée arcsinus et notée arcsin. On a alors : h π π i . (1) (y = arcsin x et x ∈ [−1, 1]) ⇔ x = sin y et y ∈ − , 2 2 h π πi Le réel arcsin x est donc le nombre appartenant à − , dont le sinus est x. 2 2 Remarque. On a : ∀x ∈ [−1, 1] , sin (arcsin x) = x (2) h π πi mais on n’a pas toujours arcsin (sin y) = y. Ce n’est vrai que si y ∈ − , . Par 2 2 exemple, arcsin (sin π) = 0. 1.2 Propriétés Les propriétés suivantes se déduisent de celles de la fonction sinus à l’aide des résultats sur les fonctions réciproques : – arcsin est définie, continue et strictement croissante sur [−1, 1] , – arcsin est impaire, – arcsin est dérivable sur ]−1, 1[ et on a : ∀x ∈ ]−1, 1[ , arcsin′ (x) = √ 1.3 1 . 1 − x2 (3) Représentation graphique Elle se déduit de celle de sinus par symétrie par rapport à la première bissectrice (dans un repère orthonormé) : 1 Primitives Base raisonnée d’exercices de mathématiques (Braise) y y=x y=arcsin(x) π + 2 1+ − π2 + y=sin(x) −1 + + 1 + π 2 x + −1 +− 2 2.1 π 2 Fonction arccosinus Définition La fonction cosinus est continue et strictement décroissante sur [0, π] qu’elle applique bijectivement sur [−1, 1]. Elle admet donc une bijection réciproque définie sur [−1, 1], appelée arccosinus et notée arccos. On a alors : (y = arccos x et x ∈ [−1, 1]) ⇔ (x = cos y et y ∈ [0, π]) . (4) Le réel arccos x est donc le nombre appartenant à [0, π] dont le cosinus est x. Remarque. On a : ∀x ∈ [−1, 1] , cos (arccos x) = x (5) mais on n’a pas toujours arccos (cos y) = y. Ce n’est vrai que si y ∈ [0, π]. Par exemple, arccos (cos 2π) = 0. 2.2 Propriétés Les propriétés suivantes se déduisent de celles de la fonction cosinus : – arccos est définie, continue et strictement décroissante sur [−1, 1], 2 (6) Primitives Base raisonnée d’exercices de mathématiques (Braise) – arccos est dérivable sur ]−1, 1[ et ∀x ∈ ]−1, 1[ , arccos′ (x) = √ −1 , 1 − x2 (7) – De plus, pour tout x ∈ [−1, 1] , arccos (−x)+arccos x = π. Sa courbe représentative π admet donc le point de coordonnées 0, 2 comme centre de symétrie. 2.3 Représentation graphique Elle se déduit de celle de cosinus par symétrie par rapport à la première bissectrice (dans un repère orthonormé). y y=x y = arccos(x) +π π + 2 1+ + + 1 −1 3.1 π + x y = cos(x) −1 + 3 π 2 + Fonction arctangente Définition i π πh La fonction tangente est continue et strictement croissante sur − , qu’elle ap2 2 plique bijectivement sur R. Elle admet donc une bijection réciproque définie sur R, 3 Primitives Base raisonnée d’exercices de mathématiques (Braise) appelée arctangente et notée arctan. On a alors : i π π h (y = arctan x) ⇔ x = tan y et y ∈ − , . (8) 2 2 i π πh Le réel arctan x est donc le nombre appartenant à − , dont la tangente est x. 2 2 Remarque. On a : ∀x ∈ R, tan (arctan x) = x (9) i π πh mais on n’a pas toujours arctan (tan y) = y. Ce n’est vrai que si y ∈ − , . Par 2 2 exemple, arctan (tan 2π) = 0. 3.2 Propriétés Les propriétés suivantes se déduisent de celles de la fonction tangente : – arctangente est définie, continue et strictement croissante sur R, – Cette fonction est impaire, – Elle est dérivable sur R et on a : ∀x ∈ R, arctan′ (x) = 3.3 1 . 1 + x2 (10) Représentation graphique Elle se déduit de celle de tangente par symétrie par rapport à la première bissectrice (dans un repère orthonormé) : 4 Primitives Base raisonnée d’exercices de mathématiques (Braise) y=tan(x) y=x y π + 2 y=arctan(x) − π2 + + π 2 +− 4 x π 2 Quelques autres formules usuelles ∀x ∈ [−1, 1] , arcsin x + arccos x = π 2 π . 2 si x > 0 1 . ∀x ∈ R∗ , arctan x + arctan = x − π si x < 0 2 5 (11) (12)