Les fonctions trigonométriques inverses Obtenir les angles d’un triangle Si f (x) est une fonction définie pour a < x < b et qui est telle que quel que soit y entre c et d, l’équation f (x) = y admet une solution x unique, on dit que f admet une fonction inverse f −1 et on écrit x = f −1 (y). L’arcsinus Comme la fonction sin x croît strictement de -1 à 1 lorsque x croît de −π/2 à π/2, elle admet une fonction inverse, la fonction arcsinus, qui donne l’angle (en radians) si l’on connaît le sinus : x = arcsin y ⇔ y = sin x , −1 ≤ y ≤ 1 ⇔ −π/2 ≤ x ≤ π/2. y 1.0 y 0.5 -1.5 -1.0 -0.5 -0.5 (1) 1.5 1.0 0.5 sin x 0.5 1.0 1.5 arcsin y x -1.0 -1.0 -0.5 -0.5 -1.0 -1.5 0.5 1.0 x L’arccosinus Comme la fonction cos x décroît strictement de 1 à -1 lorsque x croît de 0 à π, elle admet une fonction inverse, la fonction arccosinus, qui donne l’angle (en radians) si l’on connaît le cosinus : x = arccos y ⇔ y = cos x , −1 ≤ y ≤ 1 ⇔ 0 ≤ x ≤ π. 1 (2) y 1.0 y 0.5 3.0 2.5 2.0 1.5 1.0 0.5 cos x 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 x 3.0 -0.5 -1.0 -1.0 -0.5 arccos y 0.5 1.0 x L’arctangente Comme la fonction tan x croît strictement de −∞ à +∞ lorsque x croît de −π/2 à π/2, elle admet une fonction inverse, la fonction arctangente, qui donne l’angle (en radians) si l’on connaît la tangente : x = arctan y ⇔ y = tan x , y 6 4 2 -1.5 -1.0 -0.5 -2 -4 -6 −∞ < y < +∞ ⇔ −π/2 < x < π/2. y 1.5 1.0 0.5 tan x 0.5 1.0 1.5 x -10 -5 -0.5 -1.0 -1.5 (3) arctan y 5 10 x Exemple 5 3 Θ 4 Dans le triangle précédent, on peut obtenir l’angle au moyen de n’importe laquelle des fonctions trigonométriques inverses : θ = arcsin 3 4 3 = arccos = arctan = 0, 6435 = 36 ◦ 520 11”. 5 5 4 2 Exercice Obtenir l’angle θ du triangle suivant : 13 5 Θ 12 Pour en savoir plus http://fr.wikipedia.org/wiki/Portail:Mathématiques Réponses 1. θ = 0, 3948 = 22 ◦ 370 13” 3