Cours Fonctions ciculaires réciproques

Cours Fonctions ciculaires réciproques
3 octobre 2006
0.1
Fonctions circulaires réciproques
Définition 1. La fontion sinus réalise une bijection strictement croissante
de [−π/2, π/2] sur [−1, 1] ; sa bijection réciproque s’appelle la fonction arcsinus, notée arcsin.
La fonction arcsin rélise une bijection strcitement croissante de [−1, 1]
sur [−π/2, π/2] ; arcsin x est le réel θ ∈ [−π/2, π/2] qui vérifie
sin θ = x.
Proposition 0.1. On a pour tout x ∈ [−1, 1]
sin arcsin x = x.
De plus on a
π π
arcsin sin x = x ⇔ x ∈ [− , ].
2 2
Attention : On n’a pas toujours arcsin sin x = x, en effet par exemple
pour x = π, sin x = 0 donc arcsin sin x = 0 et 0 6= π.
Proposition 0.2. La fonction arcsin est impaire.
Définition 2. La fonction cosinus réalise une bijection strictement décroissante
de [0, π] sur [−1, 1] ; on appele sa bijection réciproque la fonction arccosinus,
notée arccos.
La fonction arccos rélise une bijection strcitement décroissante de [−1, 1]
sur [0, π] ; arccos x est le réel θ ∈ [0, π] qui vérifie
cos θ = x.
Proposition 0.3. On a pour tout x ∈ [−1, 1]
cos arccos x = x.
De plus on a
arccos cos x = x ⇔ x ∈ [0, π].
1
Attention : On n’a pas toujours arccos cos x = x, en effet par exemple
pour x = 2π, cos x = 1 donc arccos cos x = 0 et 0 6= 2π.
Proposition 0.4. Pour tout x ∈ [−1, 1] :
arccos(−x) = π − arccos(x).
Proposition 0.5. On a les propriétés suivantes :
(i) Pour tout x ∈ [−1, 1] :
p
cos(arcsin x) =
1 − x2
p
sin(arccos x) =
1 − x2 .
(ii) Pour tout x ∈ [−1, 1] :
arcsin x + arccos x =
π
.
2
(iii) Les fonctions arccos et arcsin sont dérivables sur [−1, 1] et
arccos0 (x) =
arcsin0 (x) =
−1
1 − x2
1
√
1 − x2
√
• La fonction arctangente :
Définition 3. La fontion tangente réalise une bijection strictement croissante de ]−π/2, π/2[ sur [−1, 1] ; sa bijection réciproque s’appelle la fonction
arctangente, notée arctan.
La fonction arctan rélise une bijection strcitement croissante de [−1, 1]
sur ] − π/2, π/2[ ; arctan x est le réel θ ∈] − π/2, π/2[ qui vérifie
tan θ = x.
Proposition 0.6. On a pour tout x ∈ [−1, 1]
tan arctan x = x.
De plus on a
arctan tan x = x ⇔ x ∈] − π/2, π/2[.
Attention : On n’a pas toujours arctan tan x = x, en effet par exemple
pour x = π, tanx = 0 donc arctan tan x = 0 et 0 6= π.
Proposition 0.7. La fonction arctan est impaire.
Proposition 0.8. On a les propriétés suivantes :
2
(i) Pour tout x ∈ [−1, 1] :
cos(arctan x) =
sin(arctan x) =
1
1 + x2
x
√
.
1 + x2
√
(ii) Pour tout x ∈ [−1, 1] :
arctan x + arctan
1
π
= sgn(x) .
x
2
(iii) La fonctions arctan est dérivable sur [−1, 1] et
arctan0 (x) =
1
1
.
1 + x2
Fonctions hyperboliques et hyperboliques réciproques
1.1
Fonctions hyperboliques
• Les fonction cosinus hyperbolique et sinus hyperbolique :
Définition 4. Les fonctions sinus et cosinus hyperbolique, notée respectivement sh et ch, sont définies par
ex + e−x
2
ex − e−x
2
ch (x) =
sh (x) =
3