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16 novembre 2015
Exercices : Étude globale d’une fonction d’une variable réelle
I Bijections, applications réciproques
Exercice I.1 : Montrer que les fonctions suivantes définissent une bijection de leur ensemble de définition sur un
ensemble à préciser, et écrire les fonctions réciproques :
3) f 3 (x) = x 2 − 1 sur ] − ∞, 0]
1
4) f 4 (x) =
3x − 2
1) f 1 (x) = 3x − 5
p
2) f 2 (x) = 3 − x
5) f 5 (x) =
3x + 2
2x − 1
Étudier et représenter les fonctions suivantes définies par :
Exercice I.2 :
x
1) f (x) = xe . Montrer que la restriction de f à [−1, +∞[ est une bijection de [−1, +∞[ sur [−e −1 , +∞[, et représenter
aussi son application réciproque.
e 2x − 5
. Montrer que la restriction de g à ] ln 2, +∞[ est une bijection de ] ln 2, +∞[ sur R, et représenter aussi
ex − 2
son application réciproque.
2) g (x) =
Exercice I.3 : Dans chacun des cas suivants, montrer que f : I → R admet une fonction réciproque y 7→ f −1 (y),
préciser son domaine de définition, et calculer sa dérivée au point indiqué entre parenthèses :
1. a) I = R, f (x) = x 3 + 2x − 1 (y = 2)
b) f (x) = x 5 + 3x 3 + 2x − 1 (y = 5)
Justifier rapidement que les équations x 3 + 2x − 1 = 0 et x 5 + 3x 3 + 2x − 1 = 0 admettent une unique solution
réelle.
2. I = R∗+ :
8
, (y = −3)
x3
b) f (x) = e 3x + e 2x − 5, (y = 7)
a) f (x) = −2x +
Exercice I.4 : Dans chacun des cas suivants, montrer que f est une bijection de son ensemble de définition sur un
ensemble à déterminer.
Préciser le domaine de définition de la fonction réciproque f −1 , et calculer sa dérivée en indiquant son domaine
de définition :
a) f (x) =
p
2x − 3
3
c) f (x) = x 2 − 4x + 5, pour x Ê 2
b) f (x) = e x − 1
II Calculs de limites
Déterminer, si elles existent, les limites :
Exercice II.1 :
a)
ex + 2
x→+∞ x 8 + 1
lim
xe x
x→+∞ 3x
xe x
d) lim
x→−∞ 3x
e) lim x x
c)
ln x + x 10
b) lim
x→+∞ x ln x + e x
lim
f)
g)
x→0+
III Fonctions logarithmes et exponentielles
Simplifier les expressions suivantes :
Exercice III.1 :
a) x
ln(ln x)
ln x
y
b) logx (logx x x )
Exercice III.2 :
Lycée Jean Perrin 2013/2014
Résoudre les équations :
1/2
lim
x→+∞
lim
(x x )x
x (x
a (b
x)
x
)
x→+∞ b (a x )
avec 1 < a < b
16 novembre 2015
3
a) 2x = 3x
b) x
p
x
=
p
2
c) x =
2
2
p
x
1
2
1
2
d) x x =
x
x
e) 2sin
2
x
= cos x
IV Fonctions circulaires réciproques
Exercice IV.1 :
a)
b)
c)
d)
e)
Calculer :
à p !
2
arcsin −
2
à p !
2
arccos −
2
µ
¶
1
arcsin −
2
¶
µ
1
arccos −
2
³ p ´
arctan − 3
Exercice IV.2 :
a) arcsin
µ
µ
¶¶
2π
l) arccos cos −
3
µ µ ¶¶
5π
m) arcsin sin
4
µ
µ ¶¶
5π
n) arccos cos
4
µ
µ ¶¶
3π
o) arctan tan
4
µ
µ ¶¶
7π
.
p) arctan tan
6
f) arctan(−1)
µ
¶
1
g) arctan p
3
Ãp !
3
h) arcsin
2
µ
µ ¶¶
1
i) sin arcsin
3
j) arccos(cos (4π))
µ µ ¶¶
2π
k) arcsin sin
3
Calculer les dérivées des expressions suivantes, en précisant leurs domaines de définition :
¡p ¢
x
c) x 2 arctan x 2
f) arctan
d) arctan(sin(2x))
¡
¢
e) ln arctan(x 2 )
x
b) arcsin
3
g) arccos
Exercice IV.3 :
Montrer la relation suivante sur un intervalle à préciser : 2arctan
Exercice IV.4 :
Donner une expression plus simple de :
a) cos (arctan x)
¶
π
1−x
+ arcsin x =
1+x
2
¡ p ¢
c) arcsin 2x = arcsin x + arcsin x 2
d) arcsin x + arcsin
p
Soit g l’application de R dans R définie par g (t ) = arctan(t ) − t +
a) Démontrer que g est impaire et dérivable sur R.
b) Démontrer que ∀t ∈ R, 0 É g ′ (t ) É t 2
t3
É arctan(x) É t
3
d) Étudier la continuité et la dérivabilité de la fonction f définie sur R par :
c) En déduire que ∀t ∈ R+ , t −
(
Lycée Jean Perrin 2013/2014
x −1
x +1
¶
Résoudre les équations :
π
a) arctan x + arctan 2x =
µ ¶4
4
π
b) 2arctan x + arccos
=
5
2
Exercice IV.6 :
µ
x −1
x +1
µ
¶
1
d) cotan arcsin
x
c) tan (arccos x)
b) sin (arctan x)
Exercice IV.5 :
r
µ
arctan t
t
f (0) = 1
f (t ) =
2/2
∀t 6= 0
1 − x2 =
t3
3
π
2