1 Cercle trigonométrique

Trigonometrie
1
Cercle trigonométrique
1.1
Définition
y
On appelle cercle trigonométrique un
cercle de rayon 1.
J
+
•
•
On appelle sens direct, ou sens trigonométrique le sens inverse des aiguilles
d’une montre (indiqué + sur la figure).
Question :
• A(1, 1)
1.2
O
α
•
M
•
x
I
Lesquelles de ces points appartiennent au cercle trigonométrique ?
√ √
√ • E
3, − 2
• B 53 , 45
• C − 23 , 12
Repérage d’un point sur le cercle trigonométrique
\ = α. Un angle est souvent mesuré
Un point M du cercle peut être repéré par l’angle IOM
en degrés, mais on va choisir une autre unité de mesure : L’angle α aura la même mesure que
_
IM , orienté dans le sens positif.
Question :
Activité 1
On en déduit cette correspondance entre les angles en degrés et la nouvelle unité : le
radian.
_
IM = α(rad)
0
π
6
π
3
π
2
2π
3
π
3π
2
2π
α en degrés
0
30
60
90
120
180
190
360˚
1.3
Enroulement de la droite des réels
Une droite des réels est une droite quelconque permettant de représenter graphiquement l’ensemble des nombres réels. Cette
droite est dotée d’un repère (O; I), O étant
l’origine et I donnant le sens et l’échelle.
0•
O
1•
I
4, 5 x
•
M
Ici, dire que le point M représente la valeur 4, 5 revient à dire que OM = 4, 5, compté
−→
positivement dans le sens de OI.
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Trigonometrie
y
Activité 2
Question :
×π
Enrouler cette droite sur le cercle trigonométrique c’est faire le même travail sur le
cercle trigonométrique : On prend le cercle
trigonométrique, l’échelle est donnée par son
rayon OI, le sens est le sens trigonométrique.
Alors dire que le point M représente 4, 5 re_
vient à dire que IM = 4, 5.
•x
π
×
2
M (x)
×
d
a
5r
4,
•
J
•
×
O
•
•
x
I
•I
O
×
C
M
•
×−
A droite, la représentation d’un tel enroulement. M (x) est l’image du réel x sur le
_
cercle trigonométrique : IM (x) = x.
π
2
D
×−π
Question :
– 4 et 5 p53 : Placer sur le cercle des points dont on donne les angles en radians.
– 1 et 2 p53 : même chose dans l’autre sens.
– SF2 p 41
π On voit que M (0) = I et M
= J. Mais M (2π) = I aussi ! En effet, 2π correspond à
2
un tour complet. Après un tour, M revient en I. On pourrait dire également que I = M (0) =
M (2π) = M (4π) = M (6π) = · · · .
Pour tous x ∈ R et k ∈ Z, on a M (x + 2kπ) = M (x). Autrement dit,
M (x) = M (x0 ) ⇔ x − x0 = 2kπ avec k ∈ Z. En effet, un arc de longueur 2kπ
correspond à exactement k tours complets du cercles
Exemple :
Les réels 9π
et − 17π
ont la même image sur le cercle trigonométrique.
13
13
17π
26π
9π
En effet, 13 − − 13 = 13 = 2π.
Question :
\ = π.
– Donnez une autre mesure de IOM
4
0
\ si M 0 est symétrique de M par rapport à O ?
– Quel est la mesure de IOM
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Trigonometrie
1.4
Mesure en angle orienté
\, on va préférer la notation
Dans
précédent, plutôt que de noter α = IOM
−→ l’exemple
−−→
α = OI; OM .
Plus généralement, entre deux vecteurs non-nuls ~u et ~v , on appellera angle orienté le
couple (~u, ~v ).
Comme on l’a vu, deux angles séparés de 2kπ sont identiques. On dira donc que (~u, ~v ) est
connu à 2kπ près.
Question :
– 8 à 10 p54 : Placer des points sur le cercle trigonométrique
– 11 et 12 même chose dans l’autre sens.
1.5
Mesure principale
Propriété : Soit M un point
du cercle trigonométrique. Il existe une unique
−→ −−→
mesure orientée de OI; OM dans l’intervalle ] − π; π]. C’est la mesure principale
−→ −−→
de OI; OM .
Exemple :
−→ −−→
On peut dire que l’angle OI; OM = 4π
3
−→ −−→
ou encore OI; OM = − 2π
. Cette seconde
3
mesure est la mesure principale de l’angle.
J
−0.5
M
•
O
I
•
Question :
– 23 à 26 p55 : Trouver la mesure principale
– 27 p55 Trouver ceux qui ne sont pas des mesures principales
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Trigonometrie
2
Fonctions cosinus et sinus
2.1
Définition géométrique
Soit un triangle ABC rectangle en B. On
[
appelle α l’angle BAC.
AB
Le rapport
ne dépend que de l’angle
AC
α et on a le Cosinus :
AB
Cos(α) =
AC
De la même façon on a le Sinus :
Sin(α) =
2.2
C
α
BC
AC
A
B
Valeurs remarquables
On peut déterminer de façon exacte ces rapports pour certains angles particuliers.
α (deg)
0
30
45
60
90
α (rad)
0
π/6
π/4
π/3
π/2
√
√
Cos(α)
1
Sin(α)
0
3
2
1
2
2
2
√
2
2
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1
2
√
3
2
0
1
Trigonometrie
2.3
Cosinus et sinus d’un nombre réel
_
On rappelle que sur le cercle trigonométrique, le point M (x) est le point tel que IM = x,
en tenant compte du sens positif qui est le sens trigonométrique.
Définition : Dans le repère orthonormal (O; I; J), le point M (x) a pour coordonnées (cos(x) ; sin(x)).
Cette définition est naturelle si on utilise
les radians. En effet, dans le triangle OM a,
OM = 1 est l’hypoténuse et Oa est le côté
adjacent de l’angle α. On a donc cos(α) =
Oa
= xM . De même, sin(α) = yM .
OM
J•
sin(x) •
•
M (x)
x
Or, dire que M est l’image du réel x
sur le cercle trigonométrique, c’est dire que
α
_
IM (x) = x, ou encore que α = x, si α est
exprimé en radians.
O
•
•
cos(x)
•
I
On donne ci-dessous quelques valeurs remarquables.
α
0˚
α en rad
0
cos(α)
1
sin(α)
0
30˚
45˚
60˚
90˚
π
6
√
3
2
π
4
√
2
2
√
2
2
π
3
π
2
1
2
1
2
√
3
2
J
√
3
√2
2
2
π/3
π/4
π/6
1
2
0
1
√
1
2
O
√
2
2
3
2
I
J
Remarque :
On n’est pas limités à
des angles positifs et aigus ! Avec cette nouvelle définition, on peut calculer les cosinus et
sinus d’angles négatifs et plus grands qu’un
angle droit.
3π
Ci-contre, exemple d’un angle de
(soit
4
π
135˚) et un autre de − (soit −30˚).
6
√
2
2
√
3π
4
√
−
2
2
O
3
2
π
6
I
− 12
On peut utiliser les symétries pour trouver les cosinus et sinus des angles autres que ceux
connus.
Question :
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Trigonometrie
–
–
–
–
–
2.4
Exemples page 45
Exercices 37 à 37p56 et 57
Exercices 38 à 40p57 (répondre graphiquement)
41 à 43 p57(Inverse, on donne les cos x et sin x et il faut trouver x)
44 à 47 p57 (on donne cos x ou sin x et un intervalle pour x, il faut trouver x)
Propriétés des fonctions sinus et cosinus
Propriété : Pour tout réel x :
• (cos(x))2 + (sin(x))2 = 1. On préfère généralement la notation :
cos2 (x) + sin2 (x) = 1
• −1 6 cos(x) 6 1
• −1 6 sin(x) 6 1
Démonstration :
– Soit x un réel. M (x) est l’image de x sur le cercle trigonométrique et ses coordonnées
sont (cos(x) ; sin(x)). On a OM 2 = cos2 (x) + sin2 (x) et comme M est sur le cercle
trigonométrique, OM = 1.
– Notons X = cos(x) et Y = sin(y). X 2 + Y 2 = 1 donc Y 2 = 1 − X 2 . Comme X 2 > 0
alors Y 2 6 1 et donc −1 6 Y 6 1. On raisonne de même pour X.
√ !2 2
3+1
π
3
1
=
Exemple :
Pour x = , cos2 (x) + sin2 (x) =
+
=1
6
2
2
4
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Trigonometrie
2.5
Angles associés
J
•
•
x
M, M 0
•
O
cos(x + 2kπ) = cos(x)
I
sin(x + 2kπ) = sin(x)
x + 2π
Les points M et M 0 sont confondus.
J
•
•
x
−x
O
•
•
J
M
cos(−x) = cos(x)
M
I
M0
sin(−x) = − sin(x)
Les points M et M 0 sont symétriques par
rapport à l’axe des abscisses.
•
0
•
•
cos(π − x) = − cos(x)
M
π−x
x
•
O
I
sin(π − x) = sin(x)
Les points M et M 0 sont symétriques par
rapport à l’axe des ordonnées.
J
•
•
π+x
x
O
M0
cos(π + x) = − cos(x)
M
•
I
sin(π + x) = − sin(x)
•
Les points M et M 0 sont symétriques par
rapport à l’origine.
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Trigonometrie
J
M 00
•
π/2
•
+x
•
sin
M0
•
π/2
cos
π
2
− x = cos(x)
2
π
−x
O
Les points M et M 0 sont symétriques par
rapport à la droite d’équation y = x.
M
cos
x
π
•
I
sin
2
+ x = − sin(x)
π
2
+ x = cos(x)
Les points M 0 et M 00 sont symétriques par
rapport à l’axe des ordonnées.
− x = sin(x)
Question :
– exos 51 à 55 p57, 59 (cos(x) et sin(x) sont données, en déduire les sin et cos pour les
angles associés)
2.6
Représentations graphiques
2.7
Fonctions associées
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