Fonctions trigonométriques inverses Jacques Paradis Professeur Plan de la rencontre Rappel : graphique d’une fonction inverse Définition de la fonction arcsinus x (arc sinus) Dérivée de arcsinus x Définition de arccos x et sa dérivée Définition de arctan x et sa dérivée Définition de arccot x et sa dérivée Définition de arcsec x et sa dérivée Définition de arccsc x et sa dérivée Département de mathématiques 2 Rappel : graphique d’une fonction inverse Soit f(x) une fonction et f-1(x) la fonction inverse de f(x) Les courbes représentatives de ces fonctions sont symétriques par rapport à la droite y = x y x Département de mathématiques 3 Exemple f(x) = ex h(x) = x g(x) = lnx Département de mathématiques 4 Définition de arcsinus x On a y = arcsin x si et seulement si x = sin y Bien noté que y représente un angle et que arcsin x = angle x y Domsiny = IR Imasiny = [-1 , 1] Département de mathématiques Domarcsinx = [-1 , 1] Imaarcsinx = [-/2 , /2] 5 Exemples arcsin x est égal à l’angle y tel que sin y = x Arcsin 1 = /2 radians (90º) /2 Arcsin 0 = 0 (0 º) Arcsin ½ = /6 (30 º) -/2 Arcsin (0,75) = 0,848 rad (ou 48,6 º) Arcsin 2 n’existe pas* Département de mathématiques 6 Dérivée de arcsinus x (1 de 2) Soit y = arcsin x sin y = x dy 1 (dérivation implicite) cos y dx Département de mathématiques dy 1 dx cos y sin 2 y cos 2 y 1 dy 1 , car 2 dx 1 sin y cos y 0 sur 2 , 2 dy 1 , car sin y x dx 1 x2 7 Dérivée de arcsinus x (2 de 2) Si y arcsin[f (x)] 1 Alors y' f '(x) 1 [f (x)]2 Exemple : Trouver la dérivée de f(x) = arcsin (8x – x3) Exercice : Trouver la dérivée de g(x) = (arcsin x2)4 Département de mathématiques 8 Définition de arccos x et sa dérivée On a y = arccos x si et seulement si x = cos y Domcosy = IR Imasiny = [-1 , 1] Domarccosx = [-1 , 1] Imaarccosx = [0 , ] dy 1 On a 2 dx 1 x Exercice : Démontrer la formule pour dériver y = arccos x. Département de mathématiques 9 Définition de arctan x et sa dérivée On a y = arctan x si et seulement si x = tan y Domtany = IR/{± /2, ±3/2, …} Imatany = IR Domarctanx = IR Imaarctanx = ]-/2 , /2[ dy 1 On a 2 dx 1 x Département de mathématiques 10 Dérivée de arctan x Soit y = arctan x tan y = x 2 sec y dy 1 (dérivation implicite) dx dy 1 dx sec2 y Département de mathématiques dy 1 sin 2 y cos 2 y 1 , car dx 1 tan 2 y cos 2 y cos 2 y cos 2 y dy 1 , car tan y x 2 dx 1 x 11 Définition de arccot x et sa dérivée On a y = arccot x si et seulement si x = cot y Imaarccotx = ]0 , [ dy 1 On a 2 dx 1 x Démontrer la formule pour dériver y = arctanx. Département de mathématiques 12 Définitions et dérivées de arcsec x et arccsc x On a y = arcsec x si et seulement si x = sec y dy 1 dx x x 2 1 ou dy 1 dx x x 2 1 On a y = arccsc x si et seulement si x = csc y dy 1 dx x x 2 1 Département de mathématiques ou dy 1 dx x x 2 1 13 Résumé Soit u = f(x) et du/dx = f’(x), d(arcsin u) 1 du dx 1 u 2 dx d(arccos u) 1 du dx 1 u 2 dx d(arctan u) 1 du dx 1 u 2 dx d(arccot u) 1 du dx 1 u 2 dx d(arcsec u) 1 du dx u u 2 1 dx d(arccsc u) 1 du dx u u 2 1 dx Département de mathématiques 14 Exemples Calculer f’(x) si a) f(x) = arcsin (3x + 7) b) f(x) = 3arccos (2x2 – 1) c) f(x) = (arcsin x)3 d) f(x)= (arccos x)/x e) f(x) = x·arctan x Département de mathématiques 15 Exercices Calculer f’(x) si a) f(x) = arcsin (4x2 – 1) b) f(x) = arctan (x+2) c) f(x) = arcsin x3 d) f(x)= arccos x – x2 e) f(x) = arcsin [(x +1)/(x – 7)] Département de mathématiques 16 Devoir Exercices 10.1, page 399, nos 1 et 3 (sauf h). Exercices 10.2, page 406, nos 1 (sauf f), 2 (sauf j et l), 3a et 3b. Exercices 10.3, page 414, nos 1a, 1b et 2a à 2f. Exercices 10.4, page 420, no 5 Exercices récapitulatifs, page423, nos 4a à 4e, 4h, 4i, 4k et 13. e x 4i) x '(t) e x 2 1 Arc cot e x Département de mathématiques 4k) x '(t) arccos t arcsin t 1 t 2 (arccos t) 2 17 Devoir (suite) Réponse du numéro 13 : a) x Arc tan 75 b) d 75 dx dt 5625 x 2 dt c) -0,12 rad/min et -0,1875 rad/min d) 25 m Département de mathématiques 18