Chap 6 Trigonométrie

Chap 6
Trigonométrie
I. Relations trigonométriques dans le triangle rectangle
1. Vocabulaire du triangle rectangle
Considérons le triangle ABC rectangle en A.
Angles :
 (ou juste A
 s'il n'y a pas de confusion possible) est un angle droit.
BAC
 et C
 sont des angles :
B
• aigus : leur mesure est inférieur à 90°.
• complémentaires : leur somme vaut 90°.
Côtés :
[BC] est l'hypoténuse.
[AB] est le côté :
.
• adjacent à l'angle B
.
• opposé à l'angle C
[AC] est le côté :
.
• adjacent à l'angle C
.
• opposé à l'angle B
2. Formules
définitions : Dans un triangle rectangle :
• le cosinus d'un angle aigu est égal au quotient de la longueur du côté adjacent à cet
angle par la longueur de l'hypoténuse.
• le sinus d'un angle aigu est égal au quotient de la longueur du côté opposé à cet angle
par la longueur de l'hypoténuse.
• la tangente d'un angle aigu est égal au quotient de la longueur du côté opposé à cet
angle par la longueur de son côté adjacent.
Reprenons notre triangle ABC rectangle en A.
 est aigu, son côté adjacent est [AB] et son côté opposé est [AC].
L'angle B
On peut donc noter :
 = AB
cos  B
BC
 = AC
sin B
sinus :
BC
 = AC
tangente : tan  B
AB
cosinus :
 :
Retrouver les formules associées à l'angle C
 = .....
cos  C
.....
 = .....
sin C
sinus :
.....
 = .....
tangente : tan  C
.....
cosinus :
Remarques :
• Le cosinus, le sinus et la tangente ne dépendent que de la mesure de l'angle.
• Le cosinus et le sinus d'un angle aigu sont toujours des nombres compris entre 0 et 1 (car
l'hypoténuse est le plus grand côté du triangle).
• La tangente d'un angle aigu est toujours un nombre positif (peut être plus grand que 1).
Pour mémoriser les formules, il existe un moyen mnémotechnique : SOH-CAH-TOA
II. Applications
1. Calcul de longueurs
On a trois formules possibles, il faut donc choisir la bonne en fonction des données.
Le triangle IJK est rectangle en I tel que :
 = 35 °
IK = 4 cm et IKJ
1. Calculer la longueur IJ (arrondie au millimètre près).
Dans le triangle IKJ rectangle en I, on a :
 = IJ soit tan 35° = IJ
tan  IKJ
IK
4
IJ = 4 × tan 35 °
Donc, IJ ≈ 2,8 cm
2. Calculer la longueur KJ (arrondie au millimètre près).
Dans le triangle IKJ rectangle en I, on a :
IK
4
cos  
IKJ =
soit cos 35° =
KJ
KJ
KJ × cos 35° = 4
4
KJ =
cos 35°
Donc, KJ ≈ 4,9 cm
3. Calculer la longueur IL (arrondie au millimètre près).
Dans le triangle IKL rectangle en L, on a :
IL
IL
sin 
IKL =
soit sin35 ° =
IK
4
IL = 4 × sin 35 °
Donc, IL ≈ 2,3 cm
2. Calcul d'angles
On a trois formules possibles, il faut donc choisir la bonne en fonction des données.
exemple 1 :
Dans le triangle ABC rectangle en A, on a :
AB
3,2
cos  
ABC =
ABC =
soit cos  
BC
5,6
 
 = cos−1 3,2 ≈ 55°
Donc, ABC
5,6
exemple 2 :
Dans le triangle DEF rectangle en E, on a :
  = EF soit sin FDE
  = 2,3
sin FDE
DF
4,8
 
 = sin−1 2,3 ≈29°
Donc, FDE
4,8
exemple 3 :
Dans le triangle IJK rectangle en K, on a :
 = KJ soit tan  KIJ
 = 5,1
tan  KIJ
KI
7,9
 
 = tan−1 5,1 ≈ 33°
Donc, KIJ
7,9
III. Formules de trigonométrie
 , on a :
propriété : Pour tout angle aigu X
 2  sin X
 2 = 1 (propriété des carrés)
cos X
=
tan X

sin X
 (propriété de la tangente)
cos X
démonstration :
Dans le triangle ABC rectangle en A, on a :
 = AB
 = AC
 = AC
cos  B
sin B
tan  B
BC
BC
AB
1. propriété des carrés :
On a donc :
   
 2  sin B
 2 = AB
cos B
BC
2

AC
2
BC
=
AB2
BC2

AC 2
BC 2
=
AB2  AC 2
BC2
Or, dans le triangle ABC rectangle en A, d'après le théorème de Pythagore, on a :
2
2
2
AB  AC = BC
2
2
2
 2  sin B
 2 = AB  AC = BC = 1
On en déduit : cos B
BC2
BC2
2. propriété de la tangente :
On a alors :
AC

sin B
BC
AC AB AC
BC
AC

=
=
÷
=
×
=
= tan B

cos B AB
BC BC
BC
AB AB
BC
exemple :
 est égal à 0,6. Calculons le sinus et la tangente de A
 sans
Le cosinus d'un angle aigu A
calculer sa valeur en degré.
 2  sin A
 2= 1
D'après la propriété des carrés, on a : cos A
 2=1
0,62  sin A
Donc :
et donc sin A
 2=1
 =  0,64 = 0,8
0,36   sin A
 2 = 1−0,36 = 0,64
sin A
=
D'après la propriété de la tangente, on a : tan A

sin A
0,8 8 4
=
= =

cos A 0,6 6 3