série trigo

Collège Voltaire, 2015-2016
Mathématiques / Exercices / 2ème
Trigonométrie
http://dcpe.net/POII/sites/default/files/cours%20et%20ex/ex-ma2-trigo.pdf
Table des matières
Série 19 2MA1 / Trigonométrie / Novembre 2015.............................................................................................................................................................................3
Rappel de trigonométrie de 1ère année.......................................................................................................................................................................................... 3
Résoudre des problèmes avec le sinus, le cosinus et la tangente..................................................................................................................................................... 3
Série 20 2MA1 / Trigonométrie / Novembre 2015............................................................................................................................................................................7
Démontrer le théorème du sinus et appliquer ce théorème pour résoudre des problèmes............................................................................................................... 7
Série 21 2MA1 / Trigonométrie / Novembre 2015.............................................................................................................................................................................9
Démontrer le théorème du cosinus et appliquer ce théorème pour résoudre des problèmes............................................................................................................ 9
Série 22 2MA1 / Trigonométrie / Novembre 2015...........................................................................................................................................................................11
Résoudre des problèmes avec des arcs de cercle.......................................................................................................................................................................... 11
Comprendre la signification de radians et utiliser les radians....................................................................................................................................................... 11
Transformer des radians en degrés et réciproquement.................................................................................................................................................................. 11
Représenter la mesure d' un angle orienté en radians ou en degrés dans le cercle trigonométrique............................................................................................... 11
Déterminer la mesure principale d'un angle et si des angles sont de mêmes mesures................................................................................................................... 11
Comprendre et résoudre des problèmes avec des angles en radians et en degrés.......................................................................................................................... 11
Série 23 2MA1 / Trigonométrie / Décembre 2015..........................................................................................................................................................................18
Déterminer le sinus et le cosinus d'angle orienté en radians à l'aide du cercle trigonométrique.................................................................................................... 18
Trouver le sinus, le cosinus et la tangente dans divers problèmes................................................................................................................................................. 18
Série 24 2MA1 / Trigonométrie/ Travail de groupe /Décembre 2015......................................................................................................................................22
Tracez le graphe de la fonction sinus........................................................................................................................................................................................... 22
Déterminer le sinus d'un angle orienté dans le cercle trigonométrique......................................................................................................................................... 22
Série 25 2MA1 / Trigonométrie/ Travail de groupe /Janvier 2016...........................................................................................................................................23
Tracez le graphe de la fonction cosinus........................................................................................................................................................................................ 23
Déterminer le cosinus d'un angle orienté dans le cercle trigonométrique...................................................................................................................................... 23
Série 26 2MA1 / Trigonométrie / Janvier 2016...............................................................................................................................................................................24
Trouver les relations entre les fonctions trigonométriques de certains angles............................................................................................................................... 24
Série 27 2MA1 / Trigonométrie / Janvier 2016...............................................................................................................................................................................26
Résoudre des équations trigonométriques.................................................................................................................................................................................... 26
Série 28 2MA1 / Trigonométrie / Janvier 2016...............................................................................................................................................................................28
Résoudre des équations trigonométriques à l'aide de représentation graphique............................................................................................................................ 28
Série 29 2MA1 / Trigonométrie/ Travail de groupe /Janvier 2016...........................................................................................................................................30
Tracez le graphe de la fonction tangente...................................................................................................................................................................................... 30
Déterminer la tangente d'un angle orienté dans le cercle trigonométrique.................................................................................................................................... 30
Série 30 2MA1 / Trigonométrie / Janvier 2016...............................................................................................................................................................................31
Trouver les relations entre la fonction tangente de certains angles............................................................................................................................................... 31
Série 31 2MA1 / Trigonométrie / Janvier 2016...............................................................................................................................................................................32
Résoudre des équations trigonométriques et des problèmes avec des fonctions trigonométriques................................................................................................ 32
Série 32 2MA1 / Trigonométrie/ Travail de groupe /Janvier 2016...........................................................................................................................................33
Tracez le graphe de fonctions trigonométriques........................................................................................................................................................................... 33
Déterminer la période, l'amplitude, le déphasage, etc. de fonctions trigonométriques.................................................................................................................. 33
Série 33 2MA1 / Trigonométrie / Février 2016...............................................................................................................................................................................34
Représenter la fonction réciproque du sinus et du cosinus............................................................................................................................................................ 34
Déterminer la source et le but pour que les fonctions soient bijectives......................................................................................................................................... 34
Série supplémentaire 2MA1 / Trigonométrie /.................................................................................................................................................................................36
Résoudre des équations trigonométriques.................................................................................................................................................................................... 36
www.dcpe.net/ eleve/ volt1234
Série 19
2MA1 / Trigonométrie / Novembre 2015
Objectifs
✔ Rappel de trigonométrie de 1ère année
✔ Résoudre des problèmes avec le sinus, le cosinus et la tangente
Source: http://dcpe.net/POII/sites/default/files/cours%20et%20ex/ex-ma2-trigo.pdf
Pour ce chapitre, ne pas oubliez : un rapporteur, un compas, une règle, des crayons de couleur et
une calculatrice
Ex.1.
a)
Construisez un triangle rectangle avec un angle
Mesurez les 3 côtés du triangle.
b) Effectuez le rapport entre :
-le côté adjacent à
-le côté opposé à
-le côté opposé à
 et l’hypoténuse
 et l’hypoténuse

ADJ 
=
HYP
OPP
=
HYP
 et le côté adjacent à 
de 60 degrés pour l’un des angles.
Rappel :
HYP : hypoténuse
OPPα : côté opposé à α
ADJ α : côté adjacent à α
OPP
=
ADJ 
c) Comparez vos résultats avec un camarade. Expliquez vos résultats.
d) A quoi correspondent ces rapports ?
Ex.2.
Trouvez les valeurs du sinus , du cosinus et de la tangente pour les angles de 30°, 45° et 60° à
l’aide des figures suivantes :
Triangle équilatéral de longueur de côté a
a
30°
Carré de longueur de côté b
b
60°
45°
a
b
Ex.3.
Trouvez les valeurs du sinus , du cosinus et de la tangente pour les angles de 0°et 90°.
Pour ces angles, nous sommes dans des cas particuliers, car nous ne sommes pas dans le cas des
triangles rectangles, mais nous pouvons comprendre les valeurs intuitivement par cet exercice:
a) Construisez un triangle rectangle avec un des angles à 5°. Que pouvez-vous observer
concernant la longueur des côtés ?
b)Vers quelles valeurs tendent le sinus , le cosinus et la tangente d’un angle proche de 0°?
c) Vers quelles valeurs tendent le sinus, le cosinus et la tangente d’un angle proche de 90° ?
Ex.4.
En considérant que le rayon de la terre mesure 6380 km, déterminez la longueur du 44 ème
parallèle (latitude : 44 degrés)
Ex.5.
Suivre la pente
Quelle piste sera la plus appropriée,
si l'on est un skieur débutant ?
Indication : une pente de 10% correspond à
une dénivellation de 10 m sur un déplacement
horizontal de 100 m.
Ex.6.
Objet non identifié
Deux amis aperçoivent simultanément un objet non identifié dans l’air qui descend verticalement
vers le sol. L’un est à Genève et l’autre est à Lausanne. L’angle d’élévation depuis Genève est de
45° et depuis Lausanne de 30° . Les amis estiment la distance entre Lausanne et Genève à 60 km.
Trouvez à quelle distance de Genève l’objet non identifié va atterrir.
Trouvez la hauteur de l’objet non identifié au moment de l’observation.
O
Croquis de la situation :
h
45°
G
30°
H
L
Indications :
•H : point d’atterrissage
G :Genève
L :Lausanne
O :objet non identifié
l’objet non identifié
•posez:
distance HL= x
et
distance GH= 60 – x
•utilisez la trigonométrie
h :hauteur de
Série 20
2MA1 / Trigonométrie / Novembre 2015
Objectifs
✔ Démontrer le théorème du sinus et appliquer ce théorème pour résoudre des problèmes
Source: http://dcpe.net/POII/sites/default/files/cours%20et%20ex/ex-ma2-trigo.pdf
Ex.1.
Un terrain triangulaire ABC (voir croquis) doit être clôturer sur les côtés AB et BC.
Calculez la longueur de la clôture.
Croquis du terrain:
Longueur AB : 130 m
Indication : exprimez h en fonction de sin(39) d'une part, et de sin(61) d'autre part.
Ex.2.
Considérons un triangle quelconque de longueur de côtés a, b et c (voir croquis).
Démontrez les égalités ci-dessous.
a
b
c
=
=
(Théorème du sinus)
sin(α )
sin ( β )
sin( γ )
Indication : faites le même raisonnement que dans l’exercice 1.
Ex.3.
Topographie
Pour calculer la distance séparant deux points A et B situés sur les rives opposées d’un fleuve, un
géomètre définit un segment de droite AC de 240 m le long d’une des rives. Il détermine que les
mesures des angles  BAC et  ACB sont respectivement de 63°et 54° (voir figure).
Calculez la distance entre A et B.
Série 20
Ex.4.
Observation depuis un hélicoptère
Un hélicoptère est en vol stationnaire à 300 m au-dessus du sommet d’une montagne qui culmine à
1560 m, comme le montre la figure. Du sommet de cette montagne ou de l’hélicoptère, on peut voir un
deuxième pic, plus élevé. Vu de l’hélicoptère, son angle de dépression est de 43° vu du petit sommet,
son angle d’élévation est de 18°.
a) Calculez la distance séparant les deux sommets.
b) Calculez l’altitude du sommet le plus élevé.
Série 20
Série 21
2MA1 / Trigonométrie / Novembre 2015
Objectifs
✔ Démontrer le théorème du cosinus et appliquer ce théorème pour résoudre des problèmes
Source: http://dcpe.net/POII/sites/default/files/cours%20et%20ex/ex-ma2-trigo.pdf
Ex.1.
Considérons un triangle quelconque de côtés a, b, c et d'angles associés  ,  et  .
Avec ces notations, l'égalité ci-dessous est vraie.
2
2
2
a = b + c −2 bc⋅cos ( α )
1) Démontrez ce théorème à l'aide des indications suivantes.
a) A l'aide du théorème de Pythagore, exprimez h2 de deux façons différentes, puis
égalez les expressions obtenues.
b) Exprimez x en fonction de cos(  ) et substituez x dans l'égalité obtenue en (a).
c) Déduisez de (b) le théorème du cosinus.
2) Que devient ce théorème dans le cas particulier où l'angle
 mesure 90° ?
Ex.2.
Le sommet du Mt Fuji, au Japon, culmine à environ 3800 m. Un étudiant gravit et descend le
Mt Fuji. La montée est de 23 km et la descente de 16 km pour arriver à la même altitude
qu’au point de départ (voir croquis).
L’étudiant aimerait rejoindre le point de départ.
a) Quelle est la distance à vol d’oiseau entre l’arrivée et le départ?
b) Pour avoir une idée plus proche de la réalité de la distance à parcourir, il suppose que
la base du volcan (voir croquis de droite) décrit un cercle. Trouver la distance entre
l’arrivée et le départ.
Ex.3.
Calcul des diagonales d’un parallélogramme
Un parallélogramme a des côtés de 30 cm et de 70 cm et un angle de 30°.
Calculez la longueur de chaque diagonale au centimètre près.
Série 22
2MA1 / Trigonométrie / Novembre 2015
Objectifs
✔
✔
✔
✔
✔
✔
Résoudre des problèmes avec des arcs de cercle
Comprendre la signification de radians et utiliser les radians
Transformer des radians en degrés et réciproquement
Représenter la mesure d' un angle orienté en radians ou en degrés dans le cercle trigonométrique
Déterminer la mesure principale d'un angle et si des angles sont de mêmes mesures
Comprendre et résoudre des problèmes avec des angles en radians et en degrés
Source: http://dcpe.net/POII/sites/default/files/cours%20et%20ex/ex-ma2-trigo.pdf
Ex.1.
a) Trouvez des angles compris entre 0° et 360° de même mesure que:
1) 2100°
2)-1200°
3) -2425°
4) 1430°
b) Trouvez les mesures principales de ces angles.
Indication : la mesure principale d’un angle orienté est l’unique mesure qui est comprise
dans l’intervalle ]-180°;180°].
Ex.2.
a)Placez sur le cercle ci-dessous les points B, C, D, E, F et G tels que les angles:
^
^
^
= -30°
= 390°
AOB = 30°
AOC
AOD
^
AOE = -330°
^
AOF
c) Que remarquez-vous ?
d) Donnez les mesures principales de
ces angles
e) Donnez une expression
algébrique permettant de trouver
tous les angles de même mesure
que 30° ?
= 750°
^
AOG
= 690°
Ex.3.
La longueur d'un arc
1) Calculez la longueur de l'arc L dans le cas où :
a) R = 4 cm(rayon) et  = 45°
b) R = 5 cm
et  = 180°
c) R = 1 cm
et  = 70°
2) Exprimez L en fonction de R et

(cas général).
Ex.4.
La définition de radian
a) Soit 4 cercles de centre O et de rayon 1cm (cercle trigonométrique) , 2cm , 3cm et
5cm. Soit un angle ^
AOB de 30 degrés. Faites un croquis de la situation.
b) Complétez le tableau suivant en simplifiant au maximum les écritures.
Rayon : R (cm)
1
2
3
Longueur de l’arc: L(cm)
Rapport :
L
R
c) Que pouvez-vous observer ?
d) À quoi correspond le rapport
L
? S'agit-il d'une longueur ?
R
e) Quelle est la signification de 1 radian [rad]?
5
Ex.5.
Les radians
a) Complétez le tableau de mesures en degrés et en radians :
Mesures
en degrés
Mesures
en
radians
30
………
b) Convertissez
5
⋅π
4
………
60
………
………
135
………
……
…
………
2⋅π
rad en degrés, et 165° en radians.
Ex.6.
On pousse un vélo dont les roues ont un diamètre de 60 cm sur une distance L.
a) Calculez L sachant que les roues ont effectué une rotation de 360°.
Même question pour 400°.
b)Calculez l’angle de rotation en radians sachant que les roues ont effectuée une distance L
de 150 cm.
Même question pour une distance L de 450 m. Combien de tours de roue faut-il ?
c) Calculez l’angle de rotation en radians sachant que les roues ont effectuée une distance L
de 30 cm en arrière.
Ex.7.
Placez sur le cercle ci-dessous les points B, C, D, E, F,G, H, I, J et K tels que les angles:
π
3π
−
4
(Pour les angles n’étant pas compris entre - 2
^
AOB =
^
AOE =
^
AOH =
π
3
3π
−
^
AOC =
rad
^
AOK = 1 rad
π
rad
^
AOI =
^
AOL = -6120°
25 π
6
, expliquez votre raisonnement.)
^
AOD = 2 π rad
rad
^
AOF = 17 π rad
rad
11 π
2
et 2
rad
^
AOG =
8π
3
^
AOJ =
−
rad
21 π
4
rad
Ex.8.
Soit des formules donnant des angles en radians :
1)
2)
3)
π
+k⋅π
2
π
où
3
π
+k⋅2 π
6
où
k ∈{0 ;1;2;3}
k∈{−3;−2;;−1;0 ;1;2;3}
où
k∈{−2;−1;0 ;1;2}
a) Trouvez les mesures des angles en radians avec les indications données.
b) Sur des cercles trigonométriques distincts pour chacun des trois exemples, placez les
points associés aux angles trouvés.
c) Que pouvez-vous observer pour les angles dans l’exemple 3 ? Lequel pourraient le mieux
représenter ces angles ?
Indication : la mesure principale d’un angle orienté est l’unique mesure qui est comprise
dans l’intervalle ]-π ; π]. C’est donc celle qui est lisible directement sur le cercle
trigonométrique.
.d) Quel est la mesure principale de
25 π
6
rad ?
Correction
Exercice 5
a)Calculez L sachant que les roues ont effectué une rotation de 360°
L=2  r= 2  30=60  = 188.5 cm
Même question pour 400°.
L=longueur d’arc pour 360° + longueur d’arc pour 40°
2 r
=
2  30
=
=
2 r
+

360
2  30
+
209.44 cm
40
360
b)Calculez l’angle de rotation en radians sachant que les roues ont effectuée une distance L de 150 cm.
longueur d ' arc L
=
rayon
r
150
L =150 cm r= 30cm Angle en radian=
=5 rad
30
Angle en radian=
Même question pour une distance L de 450 m. Combien de tours de roue faut-il ?
L =450 m= 45000 cm r= 30cm
c)
Angle en radian=
2 rad  1 tour 
 x  238.7 tours
1500 rad  x tour 
45000
=1500 rad
30
environ 238 tours
Calculez l’angle de rotation en radians sachant que les roues ont effectuée une distance L de 30 cm en arrière.
Angle en radian= =
Exercice 6
 AOB = 60°
L 30
=
= 1 rad
r 30
 AO H =-
11
rad=-990°=°-270°  -270°  90°
2
 AO I =
25
6
 AOC = -135°
 AOD = 2 rad = 360°
 AOE = 3 rad   rad= 180°
 AO F = -17 rad   rad= 180°
 AO G =
8
3
rad
=480°=120°+360°  120°
 AO J = 
rad=750°  30°
221
4
 --

4
rad= 
220 

=-554
4
4
=-225°  135°
 AO K = 1 rad ; 57.3°
 AO L = -6120°  O°
3.14 rad  180 
 x  57,3
1 rad  x 
Exercice 7
a et b)
2)

3
où k{ -3;-2;-1;0;1;2;3 } k=-3
k
k=-2
k=-1
k=0
k=1
k=2
k=3
3)

6
+ k 2
k=-2
k=-1
k=0
k=1
k=2
c)
d)

6

4
rad
+k
2
3

3

3

3

3

3
k=

3
•(-3)= - 
•(-2)= -
2
= -120°  240°
3
•(-1)= - 

3
= -60°  300°
•0= 0°
•(1)= -

= 60°
3

2
•(2)=
= 120°
3
3

3
•(3)=
 =180°
où k{-2;-1 ;0 ;1,2}

6

6

6

6

6
+(-2)•2  =
+(-1)•2  =
+0•2  =
+1•2  =
+2•2  =

6

6

6

6

6

24 
23 
=rad=-690°  30°
6
6
6
 12 
11 
=
=rad=-330°  30°
6
6
6
-4  =
-2 
-
rad=30°
-2  =

+4  =
6

6
+
12 
13 
=
rad=390°  30°
6
6
+
  =180°
24 
25 
=rad=-750°  30°
6
6
Série 23
2MA1 / Trigonométrie / Décembre 2015
Objectifs
✔ Déterminer le sinus et le cosinus d'angle orienté en radians à l'aide du cercle trigonométrique
✔ Trouver le sinus, le cosinus et la tangente dans divers problèmes.
Source: http://dcpe.net/POII/sites/default/files/cours%20et%20ex/ex-ma2-trigo.pdf
Ex.1.
1) Placez sur le cercle trigonométrique ci-dessous les points B, C et D et I tels que :
b= ^
AOB =
π
6
c= ^
AOC =
rad
π
4
d= ^
AOD =
rad
π
3
rad
2) Représentez avec deux couleurs différentes le sinus et le cosinus des angles ci-dessus.
Justifiez.
3) A partir des valeurs obtenues dans une série précédente ci-dessous, placez ces valeurs
sur la figure ci-dessus.
Angles α en degrés
Angles x en radians
Cos
Sin(
α
α
() ou cos(x)
60°
0 rad
1
0
) ou sin(x)
30°
π
6
rad
π
4
45°
rad
π
3
60°
rad
90°
π
2
rad
0
2
1
2
√2
√3
1
2
2
√3
√2
2
1
2
Ex.2.
1) Placez sur le cercle trigonométrique ci-dessous les points B, C, D, E, F et G et I tels que :
b= ^
AOB =
3π
2
e= ^
AOE =
−3 π
4
c= ^
AOC =
rad
f= ^
AOF =
rad
−
−π
6
7π
2
rad
9π
4
d= ^
AOD =
rad
g=
^
AOG =
−
121 π
4
rad
rad
2) Représentez avec deux couleurs différentes le sinus et le cosinus des angles suivants :
sin(b)
sin(c)
sin(d)
sin(e)
sin(f)
sin(g)
3) Donnez les valeurs exactes des sinus et cosinus des angles du point (2).
cos(e)
cos(f)
Ex.3.
Soit x est un angle en radians et B est un point de coordonnée B(–8 ; 15) dans un repère
orthonormé (voir figure) .
Calculez sin(x), cos (x) et tan( x).
Ex.4.
Utilisez le cercle trigonométrique pour trouver les cosinus et sinus ci-dessous à une décimale
près. Les angles sont donnés en radians :
sin(1)
cos(6.3)
sin (-4.3)
signifie : sinus de 1 rad
Ex.5.
5
13
1) a) Sachant que cos(x) =
cos(-x) ;
cos(
π
-x) ;
, déterminez les valeurs exactes de :
cos(
π
+x) ;
cos(-2
π
+x) ;
cos(-
π
+x) .
b) Si de plus on sait que sin(x) est positif, déterminez la valeur exacte de sin(x).
Représentez l’angle x sur la figure (I) et donnez l’angle x en radians à une décimale
près.
2) a)Sachant que sin(x) =
−
sin(-x) ;
2
5
, déterminez les valeurs exactes de :
sin(  -x) ;
sin(  +x) ;
sin(-  - x).
b) Si de plus on sait que cos(x) est négatif, déterminez la valeur exacte de cos(x).
Représentez l’angle x sur la figure (II) et donnez l’angle x en radians à une décimale près.
(I)
(II)
Série 24
2MA1 / Trigonométrie/ Travail de groupe /Décembre 2015
Objectifs
✔
✔
Tracez le graphe de la fonction sinus
Déterminer le sinus d'un angle orienté dans le cercle trigonométrique
http://dcpe.net/POII/sites/default/files/cours%20et%20ex/tg-ma2-trigo.pdf
Série 25
2MA1 / Trigonométrie/ Travail de groupe /Janvier 2016
Objectifs
✔
✔
Tracez le graphe de la fonction cosinus
Déterminer le cosinus d'un angle orienté dans le cercle trigonométrique
http://dcpe.net/POII/sites/default/files/cours%20et%20ex/tg-ma2-trigo2.pdf
Série 26
2MA1 / Trigonométrie / Janvier 2016
Objectifs
✔ Trouver les relations entre les fonctions trigonométriques de certains angles
Source: http://dcpe.net/POII/sites/default/files/cours%20et%20ex/ex-ma2-trigo.pdf
Trouvez les relations entre les fonctions trigonométriques de certains angles
Indication : x en radians
a) Angles opposés :
x et -x
sin(-x)=
cos(-x)=
b) Angles différant de
sin(
π
+x) =
cos(
π
+x) =
π
c) Angles supplémentaires :
sin(
π
-x) =
cos(
π
-x) =
:
x et
x et
π
π
+ x
-x
d) Angles différant de
sin(
cos(
π
2
π
2
π
2
x
π
2
et
+ x
+x) =
+x) =
e)Angles complémentaires:
sin(
π
2
-x) =
cos(
π
2
-x) =
f) Angles différant de 2
sin(x+ 2
:
g) Angles différant de k•2
cos(x + k 2
:
x
π
2
et
- x
x+2
π
)=
π
sin(x+ k 2
et
)=
π
cos(x + 2
π
x
π
π
)=
=
π
:
x et x+ k•2
π
avec
k ∈ℤ
Série 27
2MA1 / Trigonométrie / Janvier 2016
✔ Résoudre des équations trigonométriques
Objectifs
Source: http://dcpe.net/POII/sites/default/files/cours%20et%20ex/ex-ma2-trigo.pdf
Pour les exercices suivants :
-x en radians et
α en degrés
-résolvez sans calculatrice les équations de la série
Ex.1.
Résolvez les équations suivantes :
- représentez dans le cercle trigonométrique les sinus et les cosinus à trouver(*).
- résolvez l’équation et expliquez vos calculs à l’aide de la représentation dans le cercle
trigonométrique.
- représentez les solutions sur le cercle trigonométrique pour l’équation (b) (**).
a) sin(x)=0
d) sin(-x)=0.5
b) cos(3x)=0
e) cos(
c) sin(
α )= 0.5
3α
f) sin(2x)=
√3
g) sin(3x)= -
) = 0.5
√2
h) cos(x+
2
i)
2
π
2
)=
√3
2
3
√3
cos( x− π )=−
2
4
2
Ex.2.
Résolvez les équations suivantes :
a) sin(35°)=sin(
α )
π
b) cos(x)-cos(- 4 ) = 0
c) sin(
π
4 )=sin(3x- π )
d) sin(3x)=sin(2x)
e) sin(
f)
α )= cos(
α )
sin(x)=-cos(x)
g) sin(
π
π
1
x- 3 )=cos(x+ 3 )
2
Ex.3.
sin 2( α ) + cos2( α )=1
( ou sin 2(x) + cos2(x)=1 )
Démontrez que cette égalité est toujours vraie.
Indication : utilisez la définition du sinus et du cosinus
Ex.4.
Résolvez les équations suivantes :
a) sin(3π/2–x)·sin(7π/2+x) – cos(x–π)·cos(2π–x) = 0
Indication : transformez les sinus en cosinus
2
b) 2sin (x)-cos(x)-1=0
Indication : utilisez sin 2(x) + cos2(x)=1
(*) Représentez dans le cercle trigonométrique les sinus et les cosinus à trouver :
a) sin(x)=0
b) cos(3x)=0
c)sin(  )= 0.5
d)sin(-x)=0.5
1
g) sin(3x)= -
cos(3  ) = 0.5
f) sin(2x)=
2
2
(**)Représenter les solutions sur le cercle trigonométrique pour (b) :
1) cos(3x)=0
3
2
h) cos(x+
i)
cos(

3
)=
2
2
3 
3
x- )= 2
4
2
Série 28
2MA1 / Trigonométrie / Janvier 2016
Objectifs
✔ Résoudre des équations trigonométriques à l'aide de représentation graphique
Source: http://dcpe.net/POII/sites/default/files/cours%20et%20ex/ex-ma2-trigo.pdf
Pour les exercices suivants :
-x en radians
-résolvez sans calculatrice les équations de la série
Ex.1.
Résolvez les équations suivantes. Donnez toutes les solutions des équations.
Indication :- indiquez sur le graphe les points intéressants
a) sin(x)= 0
b) sin(x)= -1
c) sin(x)=-3
d) sin(x)= 1
e) sin(x+
π
)=1
Ex.2.
Résolvez les équations suivantes. Donnez toutes les solutions des équations.
Indication :- indiquez sur le graphe les points intéressants
a) cos(2x)= 0
b) cos(2x)= 1
c) cos(2x-
π
2
)=1
Série 29
2MA1 / Trigonométrie/ Travail de groupe /Janvier 2016
Objectifs
✔
✔
Tracez le graphe de la fonction tangente
Déterminer la tangente d'un angle orienté dans le cercle trigonométrique
http://dcpe.net/POII/sites/default/files/cours%20et%20ex/tg-ma2-trigo3.pdf
Série 30
2MA1 / Trigonométrie / Janvier 2016
Objectifs
✔ Trouver les relations entre la fonction tangente de certains angles
Source: http://dcpe.net/POII/sites/default/files/cours%20et%20ex/ex-ma2-trigo.pdf
Trouvez les relations entre les fonctions trigonométriques de certains angles
Indication : x en radians
a) Angles opposés :
x et -x
tan(-x)=
b) Angles différant de
tan(
π
π
π
x et
π
+ x
+x) =
c) Angles supplémentaires :
tan(
:
-x) =
x et
π
-x
Série 31
2MA1 / Trigonométrie / Janvier 2016
Objectifs
✔ Résoudre des équations trigonométriques et des problèmes avec des fonctions trigonométriques
Source: http://dcpe.net/POII/sites/default/files/cours%20et%20ex/ex-ma2-trigo.pdf
Ex.1.
Résolvez les équations suivantes :
a) tan(x)= 0
b) cos(x)=cos(
c) sin(x)=cos(
π
3
π
3
d) 2sin2(x)=1
)
e) sin(x)cos(x)=0
)
f) sin(
π
–x) + cos(
π
+x) + sin(-x) + cos(2
π
+x) - cos(
π
2
+x)=1
=0
g) sin(
Ex.2.
La température T(x) (en °C) prévue à Genève les prochaines 4 heures peut être modélisée
par la fonction suivante :
T(x) = 2 cos(
π
x+
π
2
)
où x est en heures et
Quand la température sera-t-elle de 0°C ?
.
x
∈
[0 ; 4]
π
–x)
Série 32
2MA1 / Trigonométrie/ Travail de groupe /Janvier 2016
Objectifs
✔
✔
Tracez le graphe de fonctions trigonométriques
Déterminer la période, l'amplitude, le déphasage, etc. de fonctions trigonométriques
http://dcpe.net/POII/sites/default/files/cours%20et%20ex/tg-ma2-trigo4.pdf
Série 33
2MA1 / Trigonométrie / Février 2016
Objectifs
✔ Représenter la fonction réciproque du sinus et du cosinus
✔ Déterminer la source et le but pour que les fonctions soient bijectives
Source: http://dcpe.net/POII/sites/default/files/cours%20et%20ex/ex-ma2-trigo.pdf
Ex.1.
Soit la fonction sinus :
f(x)= sin(x)
a) -Représentez la réciproque de f sur le repère ci-dessus.
Indication : on note cette réciproque rf(x)= arcsin(x) ou rf(x)= sin-1(x).
-Comparez avec le graphe de arcsinus dans la table CRM.
b) Définissez la source et le but de la fonction arcsinus (réciproque du sinus).
Ex.2.
Soit la fonction cosinus :
f(x)= cos(x)
a) -Représentez la réciproque de f sur le repère ci-dessus.
Indication : on note cette réciproque rf(x)= arccos(x) ou rf(x)= cos-1(x) .
-Comparez avec le graphe de arc cosinus dans la table CRM.
b) Définissez la source et le but de la fonction arc cosinus (réciproque du cosinus).
2MA1 / Trigonométrie /
Série supplémentaire
Objectifs
✔ Résoudre des équations trigonométriques
Source: http://dcpe.net/POII/sites/default/files/co
Est-ce que les deux résolutions (A) et (B) de l’équation sont correctes ?
sin(2x)= sin (
π
)
3
Trouvez x vérifiant l’équation?
(A)
(B)

2x=
+2k 
3

x=
2x 

 ou


 2k
3

 2x   

S={

 2k
3

 x  6  k
 ou



 x   k
3


+k 
6
(1ère solution)




+k  } U {
+k  }
6
3
Représentation des solutions :
2ème solution : x=

S={

5
+k  =
+k
6
6

5
+k  } U {
+k }
6
6
Représentation des solutions :