TRIGONOMÉTRIE Rappels de Seconde et 1S I. Définition du cercle

TRIGONOMÉTRIE
Rappels de Seconde et 1S
I. Définition du cercle trigonométrique
Le plan est muni d'un repère orthonormé (O, ⃗
i , ⃗
j ) et
orienté dans le sens direct. Le cercle trigonométrique est le
cercle de centre O et de rayon 1.
Sens direct : sens contraire des aiguilles d'une montre.
II. Enroulement de la droite des réels sur le cercle trigonométrique
On se place dans un repère orthonormé (O,
C est le cercle trigonométrique et (AC)
tangente à C en A et orientée de sorte que
un repère de la droite (AC).
⃗
i ,
est
(A,
⃗
j ).
la droite
⃗
j ) soit
Lorsqu'on enroule le droite (AC) autour de C, à tout
point N d'abscisse x de la droite (AC), on associe un
unique point M du cercle.
La longueur de l'arc AM est égale à la longueur AN.
Le périmètre du cercle trigonométrique C est 2π .
Au réel d'abscisse 2π , on fait correspondre un angle de
360° (un tour complet après enroulement).
Par proportionnalité, on obtient les correspondances suivantes :
Abscisse
de N
sur (AC)
−2 π
−π
−π
2
−π
3
−π
4
0
π
4
π
3
π
2
-360°
-180°
-90°
-60°
-45°
0°
45°
60°
90°
π
2π
180°
360°
Angle
̂
AOM
en degré
Voir l'animation :
https://www.geogebra.org/m/RR3XHQGr
Cette animation permet de voir l'enroulement d'un réel d'abscisse x sur le cercle trigonométrique.
Décochez les cases sinus et cosinus (sources d'embrouilles)
À plusieurs points de la droite orientée (AC) on peut faire
correspondre un même point du cercle.
Sur l'exemple ci-contre, les points N et P d'abscisses respectives
3π
5π
et −
correspondent au même point M du cercle C .
4
4
Réciproquement...
Propriété : à tout point M du cercle trigonométrique est
associé une infinité de réels. Soit x l'un de ces réels, les
autres sont les réels x+2 k π ou k est un entier relatif.
π
Par exemple, les points d'abscisses respectives 4 et
9π correspondent au même point S du cercle C .
4
III. Le radian, une nouvelle unité de mesure d'angle
Soient deux points A et B d'u cercle trigonométrique C.
Un angle de 1 radian est un angle au centre interceptant sur un
arc de longueur 1.
On considère que la mesure de l'angle géométrique ̂
AOB a
pour mesure la longueur de l'arc AB.
Cette nouvelle unité de mesure est le radian. On le note rad.
Par proportionnalité, on obtient les correspondances suivantes :
Mesure
en degré
0
30
45
60
90
180
360
Mesure
en radian
0
π
6
π
4
π
3
π
2
π
2π
x
x×
π
( 180 )
IV. Angles orientés de deux vecteurs et mesure principale
Le plan est muni d'un repère orthonormé (O, ⃗
i , ⃗
j ) et
orienté dans le sens direct.
u et ⃗
v sont deux vecteurs non nuls.
⃗
A et B sont deux points tels que ⃗
u et ⃗
v .
OA = ⃗
OB = ⃗
Soient A' et B' les intersections de [OA) et [OB) avec le
cercle trigonométrique C .
Si A' est l'image du réel x et B' est l'image du réel y,
alors y−x est une mesure en radian de l'angle orienté
(⃗
u ;⃗
v ).
Chacun des nombres ( y− x )+2 k π ou k est un entier
relatif est une mesure de l'angle orienté ( ⃗
u ;⃗
v ).
Parmi toutes les mesures de l'angle orienté( ⃗
u ;⃗
v ) de deux vecteurs non nuls, il en existe une et
une seule dans l'intervalle ]−π; π ] On l'appelle la mesure principale de l'angle orienté ( ⃗
u ;⃗
v ).
Rappels utiles : ici
Démonstrations utilisant la
relation de Chasles.
V. sinus et cosinus d'un nombre réel
Le plan est muni d'un repère orthonormé (O, ⃗
i , ⃗
j ) et
orienté dans le sens direct.
C est le cercle trigonométrique
Pour tout nombre réel x, considérons le point N de la
droite orientée d’abscisse x.
À ce point N, on fait correspondre le point M sur le cercle
trigonométrique.
H est le projeté orthogonal de M sur l’axe des abscisses
K est le projeté orthogonal de M sur l’axe des ordonnées.
On appelle cosinus du réel x et on note cos x l'abscisse du point M.
On appelle sinus du réel x et on note sin x l'ordonnée du point M.
Lignes trigonométriques remarquables... à connaître par cœur !
VI. Formulaire de trigonométrie
Pour tout x réel et tout entier k , on a :
•
2
2
( cos x ) + ( sin x ) =1
x⩽1
{−1⩽cos
−1⩽sin x⩽1
k π)=cos x
{cossin (( x+2
x+2 k π)=sin x
Moyen mnémotechnique(qui vaut ce qu'il vaut) pour retenir les formules d'addition
Le sinus est sympathique, le cosinus est c...
Cosinus est c..., donc :
il ne veut pas aller voir les sinus,
il ne veut pas les laisser passer devant.
il change les signes.
D'ou :
cos ( a+b )=cos ( a ) cos ( b )−sin ( a ) sin ( b ) et cos ( a−b )=cos ( a ) cos ( b )+sin ( a ) sin ( b )
Par contre, le sinus est sympathique, donc :
il va à la rencontre des cosinus,
il ne va pas toucher au signe.
D'ou :
sin ( a+b )=sin ( a ) cos ( b )+sin ( b ) cos ( a ) et sin ( a−b )=sin ( a ) cos ( b )−sin ( b ) cos ( a )
VII. Équation du type cos x=cos a ou sin x =sin a a étant connu
Équation
cos x=cosa ;
l'inconnue est x , a est un réel.
sin x=sin a ;
l'inconnue est x , a est un réel.
Représentation
graphique
Interprétation
Solutions
Deux points, et deux seulement, ont la Deux points, et deux seulement, ont la
même abscisse cos a
même ordonnée sin a
L'équation cos x=cosa équivaut à :
x=a+2 k π
x=−a+2 k π
{
L'équation sin x=sin a équivaut à :
x=a+2 k π
x=π−a+2 k π
{
Connaître les lignes remarquables sera d'un grand secours.
Exemple : résoudre dans ℝ l'équation sin
( 3x )= 12
D'après le cercle trigonométrique ou la connaissance des lignes trigonométriques
π
1
5π
remarquables, on sait que le sinus vaut
pour 6 ou
modulo 2π .
2
6
x
1
x π
x 5π
sin
=
=
[ 2 π ] ou =
[2 π]
⇔
3
2
3 6
3
6
π
5π
[2 π]
⇔ x= 2 [ 2 π ] ou x=
2
π
5π
+2 k π ou k ∈ℤ .
L'équation a pour solutions 2 +2 k π et
2
( )
Exercices
Exercice 1 : Donner la mesure principale des angles suivants
Exercice n°2 (sans
calculatrice)
A
;
−75π
2
185π
6
Voir correction
;
B
17 π
3
a aussi pour mesure
2π
3
Les angles de mesures
π
2π
principales et
ont
3
3
le même
cosinus et des
sinus opposés
L'angle de mesure
7π
2
−
C
π
3
2009 π
3
des cosinus
opposés et le même
sinus
des cosinus opposés et des
sinus opposés
Les angles de mesures
le même cosinus
des cosinus
π
π
et des sinus
opposés et le même
principales et − ont :
opposés
sinus
4
4
des cosinus opposés et des
sinus opposés
La valeur exacte de
5π
sin
est :
6
−√ 3
2
1
2
√2
La valeur exacte de
50π
sin
est :
6
1
2
√2
√3
3π
] tel que
Soit x ∈[ π ;
2 2
1
sin x =
alors
4
cos x ≤ 0
2
2
cos x =
2
3
4
cos x =
−√ 15
4
3
cos α= √
2
1
et sin α=
2
−√ 3
2
−1
et sin α=
2
−1
2
− 3
et sin α= √
2
3π
5
6π
5
5π
3
Les solutions dans ]-  ; ] de
−1
l'équation sin x=
sont :
2
−π
7π
6 et 6
− π et π
6
6
π
11 π
6 et 6
Les solutions dans ]- ; ] de
2
l'équation cos x= √ sont :
2
π
7π
4 et 4
−π
π
4 et 4
π
3π
4 et 4
7π
4
3π
4
−π
4
−5 π
Si =
, alors :
6
La mesure en radians d'un angle de
108° est égale à
Soit ( ⃗u ; ⃗v ) un angle orienté tel que
31π
( u⃗ ; ⃗v ) =
.
4
Sa mesure principale est égale à
cos α=
cos α=
Voir correction
3π
−2
] et sin x =
Exercice 3 : On sait que x ∈ [ π ;
2 2
5
Déterminer cos x.
Voir correction
√
Exercice n°4 : Soit x un réel de [-π ; 0] tel que cos x=
(
2+ √ 6
1. Montrer que ( sin ( x ) ) = √
2
4
)
2−√ 6
.
4
2
puis en déduire la valeur de sin x .
(
2a. En utilisant une formule d'addition montrer que cos x+
2b. En déduire la valeur de x .
)
π
1
= .
4
2
Voir correction
Réponses
π
Exercice 1 : − 2
Exercice 2
1B
2B
π
2
3A
4A
5π
6
5C
6A-C 7B
8A
9A
10B
11C
Exercice 3 : on utilise ( cos x )2 + ( sin x )2 =1
1. sin x=−
2
21
2
et ( cos x )2 + ( sin x ) 2 =1 donc ( cos x ) =
5
25
3π
21
] donc cos x⩽0 . On en déduit que cos x= √
x ∈ [π ;
2 2
5
√
Soit x un réel de [-π ; 0] tel que cos x=
Exercice 4
1. ( cos x )2 + ( sin x )2 =1 ⇔ ( (sin x )2 =1−cos x )2
cos x= √
2−√ 6
.
4
8+2 √ 12
2−√ 6
et ( sin x )2 =1− ( cos x )2 donc sin 2 x=…=
4
16
(
2+ 6
et après avoir développé √ √
4
2
)
x est un réel de [-π ; 0] donc sin x⩽0 d'ou sin ( x )=−
(
2a. cos x+
)
π
=cos x×cos π −sin x×sin π
4
4
4
( )
(
2+ √ 6
on a prouvé que ( sin ( x ) ) = √
2
( )
=
√ 2+√ 6
4
)
2
4
√ 2 ( cos x−sin x ) =…= √ 2 × 2 √ 2 = 1
2
2
4
2
π π
π
π
π
π
1
=
⇔ cos x+ =cos π ⇔ x+ 4 = 3 [ 2 π ] ou x+ 4 =− 3 [ 2 π ]
4
3
4
2
7π
[2 π]
x est un réel de [-π ; 0] donc négatif, x=−
12
(
2b. cos x+
)
(
)
( )