Sous-anneau

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 juillet 2014
Enoncés
1
Sous-anneau
Exercice 1 [ 02237 ] [correction]
Soit d ∈ N, on note
o
h√ i n
√
Z d = a + b d | (a, b) ∈ Z2
h√ i
Montrer que Z d est un sous-anneau de (R, +, ×).
Exercice 2
On note
[ 02238 ]
[correction]
n n
o
|
n
∈
Z,
k
∈
N
10k
l’ensemble des nombres décimaux.
Montrer que D est un sous-anneau de (Q, +, ×).
D=
Exercice 3 [ 02239 ] [correction]
[Anneau des entiers de Gauss 1777-1855)
On note
Z [i] = a + ib | (a, b) ∈ Z2
a) Montrer que Z [i] est un anneau commutatif pour l’addition et la multiplication
des nombres complexes.
b) Déterminer les éléments inversibles de l’anneau Z [i].
Exercice 4
Soit
[ 02240 ]
Exercice 5
Soit
[ 02241 ]
[correction]
nm
o
A=
/m ∈ Z et n ∈ N? , impair
n
a) Montrer que A est un sous anneau de (Q, +, ×).
b) Quels en sont les éléments inversibles ?
[correction]
nm
/m ∈ Z et n ∈ N
2n
a) Montrer que A est un sous anneau de (Q, +, ×).
b) Quels en sont les éléments inversibles ?
A=
o
Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD
[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 juillet 2014
Corrections
Corrections
Exercice
h√ i
h√ i 1 : [énoncé]
Z d ⊂ R, 1 ∈ Z d .
h√ i
√
√
Soient x, y ∈ Z d , on peut écrire x = a + b d et y = a0 + b0 d avec
a, b, a0 , b0 ∈ Z.
h√ i
√
x − y = (a − a0 ) + (b − b0 ) d avec a − a0 , b − b0 ∈ Z donc x − y ∈ Z d .
h√ i
√
xy = (aa0 + bb0 d) + (ab0 + a0 b) d avec aa0 + bb0 d, ab0 + a0 b ∈ Z donc xy ∈ Z d .
h√ i
Ainsi Z d est un sous-anneau de (R, +, ×).
Exercice 2 : [énoncé]
D ⊂ Q et 1 ∈ D car 1 = 1010 .
m
Soient x, y ∈ D, on peut écrire x = 10nk et y = 10
` avec n, m ∈ Z et k, ` ∈ N.
`
k
n10 −m10
`
k
x − y = 10k+`
avec n10 − m10 ∈ Z et k + ` ∈ N donc x − y ∈ D.
xy = 10nm
k+` avec nm ∈ Z et k + ` ∈ N donc xy ∈ D.
Ainsi D est un sous-anneau de (Q, +, ×).
Exercice 3 : [énoncé]
a) Montrer que Z [i] est un sous anneau de (C, +, ×). Z [i] ⊂ C, 1 ∈ Z [i].
∀x, y ∈ Z [i], on peut écrire x = a + i.b et y = a0 + i.b0 avec a, b, a0 , b0 ∈ Z.
x − y = (a − a0 ) + i.(b − b0 ) avec a − a0 , b − b0 ∈ Z donc x − y ∈ Z [i].
xy = (aa0 − bb0 ) + i(ab0 + a0 b) avec aa0 − bb0 , ab0 + a0 b ∈ Z donc xy ∈ Z [i].
Ainsi Z [i] est un sous-anneau de (C, +, ×).
b) Soit x = a + i.b ∈ Z [i] avec a, b ∈ Z.
Si x est inversible dans Z [i], il l’est aussi dans C et de même inverse.
Donc x 6= 0 (i.e. (a, b) 6= (0, 0)) et
x−1 =
d’où
a2
Par suite
ab
a2 +b2
Exercice 4 : [énoncé]
a) A ⊂ Q, 1 ∈ A, ∀x, y ∈ A, x − y ∈ A et xy ∈ A : clair.
Par suite A est un sous anneau de (Q, +, ×).
b) x ∈ A est inversible si, et seulement si, il existe y ∈ A tel que xy = 1.
m0
0
0
0
x= m
n , y = n0 avec n, n impairs. xy = 1 ⇒ mm = nn donc m est impair et la
réciproque est immédiate.
Ainsi
nm
o
U (A) =
/m ∈ Z, n ∈ N? impairs
n
Exercice 5 : [énoncé]
a) A ⊂ Q, 1 ∈ A, ∀x, y ∈ A, x − y ∈ A et xy ∈ A : facile.
Ainsi A est un sous anneau de (Q, +, ×).
b) x ∈ A est inversible si, et seulement si, il existe y ∈ A tel que xy = 1.
0
Puisqu’on peut écrire x = 2mn , y = 2mn0 avec m, m0 ∈ Z et n, n0 ∈ N,
xy = 1 ⇒ mm0 = 2n+n
0
Par suite m est, au signe près, une puissance de 2.
La réciproque est immédiate.
Finalement
U (A) = ±2k /k ∈ Z
1
a − i.b
∈ Z [i]
= 2
a + ib
a + b2
a
b
∈ Z et 2
∈Z
2
+b
a + b2
∈ Z or a2ab
2
+b 6
a
a2 +b2
b
a2 +b2
2
1
2
donc ab = 0.
1
a
1
b
Si b = 0 alors
= ∈ Z donne a = ±1.
Si a = 0 alors
= ∈ Z donne b = ±1.
Ainsi, si x = a + i.b est inversible, x = 1, i, −1 ou −i.
La réciproque est immédiate.
Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD