Sous-anneaux

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 27 avril 2017
Exercice 1 [ 02237 ] [Correction]
Soit d ∈ N, on note
h√ i n
Z
Exercice 2
∀x ∈ A, ∃y ∈ A, xyx = x
√
d = a + b d | (a, b) ∈ Z2
o
h√ i
d est un sous-anneau de (R, +, ×).
[ 02239 ]
1
Exercice 5 [ 03376 ] [Correction]
Un anneau A est dit régulier si
Sous-anneaux
Montrer que Z
Enoncés
On considère un tel anneau A et l'on introduit
Z = {x ∈ A | ∀a ∈ A, ax = xa}
(a) Montrer que Z est un sous-anneau de A.
(b) Vérier que Z est régulier.
[Correction]
(Anneau des entiers de Gauss 1777-1855)
On note
Z [i] = a + ib (a, b) ∈ Z2
(a) Montrer que Z [i] est un anneau commutatif pour l'addition et la
multiplication des nombres complexes.
(b) Pour z ∈ Z [i], on pose N (z) = |z|2 . Vérier
∀(z, z 0 ) ∈ Z [i] , N (zz 0 ) = N (z)N (z 0 ) et N (z) ∈ N
2
(c) Déterminer les éléments inversibles de l'anneau Z [i].
Exercice 3
Soit
[ 02240 ]
[Correction]
A=
nm
n
o
| m ∈ Z et n ∈ N∗ , impair
(a) Montrer que A est un sous anneau de (Q, +, ×).
(b) Quels en sont les éléments inversibles ?
Exercice 4
Soit
[ 02241 ]
[Correction]
A=
nm
2n
| m ∈ Z et n ∈ N
o
(a) Montrer que A est un sous anneau de (Q, +, ×).
(b) Quels en sont les éléments inversibles ?
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Corrections
(b) x ∈ A est inversible si, et seulement si, il existe y ∈ A tel que xy = 1.
0
Puisqu'on peut écrire x = 2mn , y = 2mn0 avec m, m0 ∈ Z et n, n0 ∈ N,
Corrections
Exercice
h√ i
h√ i 1 : [énoncé]
Z d ⊂ R, 1 ∈ Z d .
Soient x, y ∈ Z
a, b, a0 , b0 ∈ Z.
2
xy = 1 =⇒ mm0 = 2n+n
h√ i
√
√
d , on peut écrire x = a + b d et y = a0 + b0 d avec
h√ i
√
x − y = (a − a0 ) + (b − b0 ) d avec a − a0 , b − b0 ∈ Z donc x − y ∈ Z d .
h√ i
√
xy = (aa0 + bb0 d) + (ab0 + a0 b) d avec aa0 + bb0 d, ab0 + a0 b ∈ Z donc xy ∈ Z d .
h√ i
Ainsi Z d est un sous-anneau de (R, +, ×).
Exercice 2 : [énoncé]
(a) Montrer que Z [i] est un sous anneau de (C, +, ×). Z [i] ⊂ C, 1 ∈ Z [i].
∀x, y ∈ Z [i], on peut écrire x = a + ib et y = a0 + ib0 avec a, b, a0 , b0 ∈ Z.
x − y = (a − a0 ) + i(b − b0 ) avec a − a0 , b − b0 ∈ Z donc x − y ∈ Z [i].
xy = (aa0 − bb0 ) + i(ab0 + a0 b) avec aa0 − bb0 , ab0 + a0 b ∈ Z donc xy ∈ Z [i].
Ainsi Z [i] est un sous-anneau de (C, +, ×).
(b) N (zz 0 ) = |zz 0 |2 = |z|2 |z 0 |2 = N (z)N (z 0 ) et N (z) = a2 + b2 ∈ N avec
z = a + ib et a, b ∈ Z.
(c) Si z est inversible d'inverse z 0 alors N (zz 0 ) = N (z)N (z 0 ) = 1. Or
N (z), N (z 0 ) ∈ N donc N (z) = N (z 0 ) = 1.
On en déduit z = 1, −1, i ou −i. La réciproque est immédiate.
Exercice 3 : [énoncé]
(a) A ⊂ Q, 1 ∈ A, ∀x, y ∈ A, x − y ∈ A et xy ∈ A : clair.
Par suite A est un sous anneau de (Q, +, ×).
(b) x ∈ A est inversible si, et seulement si, il existe y ∈ A tel que xy = 1.
m0
0
0
0
x= m
n , y = n0 avec n, n impairs. xy = 1 =⇒ mm = nn donc m est impair
et la réciproque est immédiate.
Ainsi
nm
o
U (A) =
| m ∈ Z, n ∈ N∗ impairs
0
Par suite m est, au signe près, une puissance de 2.
La réciproque est immédiate.
Finalement
U (A) = ±2k | k ∈ Z
Exercice 5 : [énoncé]
(a) Immédiatement Z ⊂ A et 1A ∈ Z .
Soient x, y ∈ Z . Pour tout a ∈ A
a(x − y) = ax − ay = xa − ya = (x − y)a
et
a(xy) = xay = xya
donc x − y ∈ A et xy ∈ A.
Ainsi Z est un sous-anneau de A.
(b) Soit x ∈ Z . Il existe y ∈ A tel que xyx = x. La diculté est de voir que l'on
peut se ramener au cas où y ∈ Z . . . Pour cela considérons l'élément z = xy 2 .
On observe
xzx = x3 y 2 = xyxyx = xyx = x
Il reste à montrer z ∈ Z . Posons a ∈ A. L'élément x3 commute avec y 2 ay 2 et
donc
x3 y 2 ay 2 = y 2 ay 2 x3
ce qui donne
xay 2 = y 2 ax
puis az = za. On peut alors que conclure que l'anneau Z est régulier au sens
déni.
n
Exercice 4 : [énoncé]
(a) A ⊂ Q, 1 ∈ A, ∀x, y ∈ A, x − y ∈ A et xy ∈ A : facile.
Ainsi A est un sous anneau de (Q, +, ×).
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