Anneaux

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 juillet 2014
Anneaux
Exercice 1 [ 00126 ] [correction]
Soit f : C → C un morphisme d’anneaux tel que
∀x ∈ R, f (x) = x
Montrer que f est l’identité ou la conjugaison complexe.
Enoncés
1
Exercice 6 [ 03856 ] [correction]
On note P l’ensemble des nombres premiers. On se propose d’établir l’existence
d’une correspondance bijective entre l’ensemble des sous-anneaux de l’anneau
(Q, +, ×) et l’ensemble des parties de P.
Pour A un sous-anneau de (Q, +, ×), on note
1
P (A) = p ∈ P/ ∈ A
p
a) Soient A et B sont deux sous-anneaux de (Q, +, ×). Etablir
Exercice 2 [ 00127 ] [correction]
Soit a un élément d’un ensemble X.
Montrer l’application Ea : F(X, R) → R définie par Ea (f ) = f (a) est un
morphisme d’anneaux.
P (A) = P (B) ⇒ A = B
b) Soit P un sous-ensemble de P. Déterminer un sous-anneau A de (Q, +, ×)
vérifiant P (A) = P .
c) Conclure.
Exercice 3 [ 00128 ] [correction]
Pour d ∈ N, on note
Ad = (x, y) ∈ Z2 /d divise (y − x)
a) Montrer que Ad est un sous anneau (Z2 , +, ×).
b) Inversement, soit A un sous anneau de (Z2 , +, ×).
Montrer que H = {x ∈ Z/(x, 0) ∈ A} est un sous groupe de (Z, +).
c) En déduire qu’il existe d ∈ N tel que H = dZ et A = Ad .
Exercice 4 [ 01221 ] [correction]
Soient a et b deux éléments d’un anneau (A, +, ×). Montrer que si 1 − ab est
inversible alors 1 − ba l’est aussi.
Exercice 5 [ 03376 ] [correction]
Un anneau A est dit régulier si
∀x ∈ A, ∃y ∈ A, xyx = x
On considère un tel anneau A et l’on introduit
Z = {x ∈ A/∀a ∈ A, ax = xa}
a) Montrer que Z est un sous-anneau de A.
b) Vérifier que Z est régulier.
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Corrections
Corrections
2
donc
(1 − ba)bxa = (ba − 1) + 1
Exercice 1 : [énoncé]
Posons j = f (i). On a j 2 = f (i)2 = f (i2 ) = f (−1) = −f (1) = −1 donc j = ±i.
Si j = i alors ∀a, b ∈ R, f (a + ib) = f (a) + f (i)f (b) = a + ib donc f = IdC .
Si j = −i alors ∀a, b ∈ R, f (a + ib) = f (a) + f (i)f (b) = a − ib donc f : z 7→ z̄.
puis
(1 − ba)(1 + bxa) = 1
L’identité est aussi valable dans l’autre sens et donc 1 − ba est inversible avec
(1 − ba)−1 = 1 + b (1 − ab)
Exercice 2 : [énoncé]
Ea (x 7→ 1) = 1.
∀f, g ∈ F(X, R), Ea (f + g) = (f + g)(a) = f (a) + g(a) = Ea (f ) + Ea (g) et
Ea (f g) = (f g)(a) = f (a)g(a) = Ea (f )Ea (g) donc Ea est un morphisme
d’anneaux.
−1
a
Exercice 5 : [énoncé]
a) Immédiatement Z ⊂ A et 1A ∈ Z.
Soient x, y ∈ Z. Pour tout a ∈ A
a(x − y) = ax − ay = xa − ya = (x − y)a
Exercice 3 : [énoncé]
a) Ad ⊂ Z2 et 1Z2 = (1, 1) ∈ Ad .
Pour (x, y), (x0 , y 0 ) ∈ Ad , (x, y) − (x0 , y 0 ) = (x − x0 , y − y 0 ) avec
d | (y − y 0 ) − (x − x0 ) donc (x, y) − (x0 , y 0 ) ∈ Ad .
Aussi (x, y)(x0 , y 0 ) = (xx0 , yy 0 ) avec d | (yy 0 − xx0 ) = (y − x)y 0 + x(y 0 − x0 ) donc
(x, y)(x0 , y 0 ) ∈ Ad .
b) H 6= ∅ car 0 ∈ H et ∀x, y ∈ H, x − y ∈ H car (x − y, 0) = (x, 0) − (y, 0) ∈ A.
c) H sous groupe de (Z, +) donc il existe d ∈ N tel que
H = dZ
Pour tout (x, y) ∈ A, on a (x, y) − (y, y) = (x − y, 0) ∈ A car
(y, y) ∈< (1, 1) >⊂ A. Par suite x − y ∈ dZ.
Inversement, si x − y ∈ dZ alors (x − y, 0) ∈ A puis
(x, y) = (x − y, 0) + y.(1, 1) ∈ A.
Ainsi
(x, y) ∈ A ⇔ x − y ∈ dZ
et
a(xy) = xay = xya
donc x − y ∈ A et xy ∈ A.
Ainsi Z est un sous-anneau de A.
b) Soit x ∈ Z. Il existe y ∈ A tel que xyx = x. La difficulté est de voir que l’on
peut se ramener au cas où y ∈ Z. . . Pour cela considérons l’élément z = xy 2 . On
observe
xzx = x3 y 2 = xyxyx = xyx = x
Il reste à montrer z ∈ Z. Posons a ∈ A. L’élément x3 commute avec y 2 ay 2 et donc
x3 y 2 ay 2 = y 2 ay 2 x3
ce qui donne
xay 2 = y 2 ax
puis az = za. On peut alors que conclure que l’anneau Z est régulier au sens
défini.
et donc alors
A = (x, y) ∈ Z2 /d divise (y − x) = Ad
Exercice 4 : [énoncé]
Supposons 1 − ab inversible et notons x son inverse de sorte que (1 − ab)x = 1
On observe
(1 − ba)bxa = ba
Exercice 6 : [énoncé]
a) Supposons P (A) = P (B).
Soit x ∈ A de représentant irréductible a/b. Puisque a et b sont premiers entre
eux, il existe u, v ∈ Z tels que au + bv = 1 et alors
1
au + bv
a
=
= u. + v
b
b
b
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Corrections
3
Sachant que a/b est élément de A et que 1 l’est aussi, par addition dans le
sous-groupe (A, +), on obtient
1
∈A
b
Si p est diviseur premier de b, on peut écrire b = pk avec k ∈ Z et alors
1
1
= k. ∈ A
p
b
Par suite les diviseurs premiers de b sont éléments de P (A). Or P (A) = P (B) et
les diviseurs premiers de b sont aussi éléments de B. Puisque B est stable par
produit, l’élément 1/b appartient à B et, finalement,
x = a.
1
∈B
b
Ainsi A ⊂ B et, par argument de symétrie, A = B.
b) Formons
na
o
A=
/les diviseurs premiers de b sont éléments de P
b
On vérifier aisément que A est une partie de Q, contenant 1, stable par différence
et produit. C’est donc un sous-anneau pour lequel on vérifie aisément P = P (A).
c) L’application A 7→ P (A) définit la correspondance bijective voulue.
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