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Université François-Rabelais de Tours
Master de Mathématiques
Partiel
Algèbre approfondie
Semestre 8
L’épreuve dure 2h. Les trois exercices sont indépendants. La notation tiendra compte de la clarté de la
rédaction. Toute affirmation doit être justifiée.
√
√
Exercice 1. L’objectif de cet exercice est de montrer que Z[i 3] = {a + ib 3 | (a, b) ∈ Z2 } n’est pas un
anneau factoriel. On considère l’application
√
N : Z[i √
3] −→
N
a + ib 3 7−→ a2 + 3b2 .
√
1) Montrer que N (xy) = N (x)N (y) pour tout x, y ∈ Z[i 3].
√
2) Déterminer les inversibles de Z[i 3].
√
√
√
3) Montrer que les éléments 2, 1 + i 3 et 1 − i 3 sont irréductibles dans Z[i 3].
4) Décomposer 4 de deux manières différentes et conclure.
√ √
Exercice 2. Soit K = Q( 3 2, i 3) une extension de Q incluse dans C.
√
√
1) Calculer [Q(i 3) : Q] et déterminer le polynôme minimal de i 3.
√
√
2) Calculer [Q( 3 2) : Q] et déterminer le polynôme minimal de 3 2.
3) Calculer [K : Q] et donner une base de K sur Q.
√
4) Déterminer l’ensemble des éléments de Q( 3 2) vérifiant x2 ∈ Q.
5) Déterminer l’ensemble des éléments de K vérifiant x2 ∈ Q.
√ √ [Aide : On pourra commencer par déterminer les éléments de x ∈ Q( 3 2) i 3 tel que x2 ∈ Q.]
√
6) Montrer que si L ⊂ K est un corps tel que [L : Q] = 2 alors L = Q(i 3).
Exercice 3. Soit P = X 3 + X + 1 ∈ F2 [X]. On rappelle que (P ) désigne l’idéal engendré par (P ) dans
F2 [X] et on pose F = F2 [X]/(P ). On désigne par Q la classe de Q ∈ F2 [X] dans F .
1) Justifier que F est un corps.
On pose α = X ∈ F . On sait que F est un espace vectoriel de dimension 3 sur F2 et que B := (1, α, α2 )
forme une base de F . Ici, on a noté simplement 1 au lieu de 1 pour simplifier les notations.
2) Exprimer α4 + α + 1 dans la base B.
1
3) Exprimer
dans la base B.
1+α
On considère l’application linéaire mα définie par
mα :
F −→
Q 7−→
F
αQ.
4) Déterminer la matrice M de mα dans la base B.
5) Montrer que la famille (I3 , M, M 2 ) forme une famille libre de M3 (F2 ).
6) Montrer que M 3 = M + I3 et en déduire que Vect(I3 , M, M 2 ) est un sous-anneau de M3 (F2 ).
Les questions précédentes permettent de montrer que l’application
ϕ:
F
−→
a + bα + cα2
7−→
Vect(I3 , M, M 2 )


a
c
b
b a + c b + c
c
b
a+c
est un isomorphisme d’anneau.
7) Déterminer ϕ(1 + α) ∈ M3 (F2 ) et calculer son inverse.
1