L3 Mathématiques Algèbre commutative Feuille 2

L3 Mathématiques
Algèbre commutative
Feuille 2
Exercice 1. Quel est le sous-anneau de C engendré par N? Et celui engendré par {1}?
Et celui engendré par D(0, 1)? Et celui engendré par C(0, 1)?
√
Exercice 2. On considère l’anneau A0 [ 3 3]. Donner la forme générale de ses éléments.
Exercice 3. Soit A un anneau et (x, a, b) ∈ A3 .
1. On suppose que x est nilpotent, montrer que 1 − x admet un inverse.
2. On suppose que ab est nilpotent, montrer que 1 − ba admet un inverse.
3. On suppose que 1 − ab est inversible, montrer que 1 − ba l’est aussi.
Exercice 4. Montrer que Z/nZ est un corps si et seulement si Z/nZ est intègre et si et
seulement si n est premier.
Exercice 5. Déterminer les diviseurs de 0 et les éléments inversibles dans C(R; R).
Exercice 6. Soit A un anneau de Boole intègre. Montrer que A est un corps et que A a
deux éléments.
Exercice 7. Soit K un corps. Résoudre les équations suivantes :
1. Q2 = XP 2 d’inconnues P, Q ∈ K[X] ;
2. P ◦ P = P d’inconnue P ∈ K[X].
Exercice 8. Soit A = Z/nZ. Y a-t-il dans A[X] des polynômes inversibles non constants?
Exercice 9. Soit A un anneau et f ∈ A[X] et n un entier supérieur ou égal à 2. On
suppose que (X − 1)|f (X n ). Montrer que X n − 1 divise f (X n ).
Exercice 10. Soit f : R → R un endomorphisme d’anneaux.
1. Calculer f (n) pour n ∈ N puis pour n ∈ Q.
2. Montrer que f (x) ≥ 0 si x ≥ 0.
3. En déduire que f est croissante.
4. En déduire que f = IdR .
Exercice 11. Soit A un anneau intègre. Montrer que A est régulier pour la multiplication,
c’est-à-dire que
∀(x, y, z) ∈ A3 , (xz = yz et z 6= 0) ⇒ x = y .
Exercice 12. Soit A un anneau commutatif.
1. Soit e ∈ A un élément idempotent. Montrer que
eA := {ex ; x ∈ A}
est un anneau commutatif pour l’addition et la multiplication induites par A. Montrer que x 7→ e.x est un morphisme d’anneaux de A dans eA. Quel est l’élément
neutre pour . dans eA?
2. On suppose que 1 = e + e0 où e et e0 sont idempotents. Calculer ee0 . Montrer que A
est isomorphe à l’anneau produit eA × e0 A.
Exercice 13. Soit Z[i] = Z0 ({i}).
1. Donner la forme générale des éléments de Z[i].
2. Montrer que c’est un sous-anneau de C. Est-il intègre?
3. Montrer que z 7→ z̄ est un isomorphisme d’anneaux de Z[i] dans lui-même.
4. Déterminer Z[i]∗ .
5. Montrer que C = {dz , d ∈ D(0, 1) , z ∈ Z[i]}.
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Solutions.
Exercice 1. Réponses Z = C0 , Z, C et C. Pour le dernier cas, on peut voir qu’avec
eiθ + e−iθ on récupère tout le segment [−2, 2] et avec eiθ − e−iθ on récupère tout le segment
[−2i, 2i]. Ensuite on récupère C facilement.
Exercice 3.
1. Soit n ≥ 2 tel que xn = 0. Alors
(1 − x)(1 + x + ... + xn−1 ) = (1 + x + ... + xn−1 )(1 − x) = 1 − xn = 1 .
2. Soit n ≥ 2 tel que (ab)n = 0. Alors
(1 − ba)(1 + ba + ... + (ba)n ) = (1 + ba + ... + (ba)n )(1 − ba)
= 1 − (ba)n+1 = 1 − b(ab)n a = 1 .
On remarque que d’après la question précédente, 1−ab est aussi inversible et l’inverse
de 1 − ab est 1 + ab + ... + (ab)n−1 . L’inverse de 1 − ba est donc donné à partir de
celui de 1 − ab par la formule
(1 − ba)−1 = 1 + ba + ... + (ba)n = 1 + b(1 + ab + ... + (ab)n−1 )a = 1 + b(1 − ab)−1 a .
3. On reprend la formule de la question précédente pour voir si elle fonctionne toujours.
Soit y = (1 − ab)−1 , posons z = 1 + bya. On a
(1 − ba)z = 1 − ba + bya − babya = 1 − ba + b(1 − ab)ya = 1 − ba + ba = 1 ,
z(1 − ba) = 1 − ba + bya − byaba = 1 − ba + by(1 − ab)a = 1 − ba + ba = 1 .
Exercice 4. On a clairement Z/pZ corps ⇒ Z/pZ intègre. Et on sait aussi que Z/pZ
corps ⇔ p premier car les éléments inversibles sont les classes des entiers compris entre 1
et n − 1 premiers avec n. Reste à voir que Z/pZ intègre entraine Z/pZ corps. Supposons
que Z/pZ n’est pas un corps, i.e. que n n’est pas premier. Alors il existe deux entiers p
et q dans {1, ..., n − 1} tels que n = pq. En particulier p et q sont des diviseurs de 0, donc
Z/nZ n’est pas intègre.
Exercice 6. Soit x ∈ A, on a x(1 − x) = x − x2 = x − x = 0. Alors x = 0 ou x = 1. On
voit donc que A = {0, 1} et A est donc bien un corps.
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Exercice 7.
1. Soit p = do P et q = do Q. On a alors
2p = 1 + 2q .
Ceci est impossible si p et q sont des entiers, donc on a forcément p = −∞ et
q = −∞. Il suit que la seule solution est P = Q = 0.
2. Tout d’abord, 0 est clairement solution, supposons P 6= 0. On note P (X) = a0 +
a1 X + ... + an X n , do (P ) = n ∈ N. Alors
P (P ) = a0 + a1 P + a2 P 2 + ... + an P n
et son degré est n2 . On a donc n2 = n d’où n = 0 ou 1. Si n = 0 alors on a P = a0 =
P (P ) dans tous les cas. Si n = 1, P (X) = a0 + a1 X et P (P (X)) = a0 + a1 a0 + a21 X.
Pour avoir égalité, on a le système suivant à résoudre
a0 = a0 + a1 a0 , a21 = a1 .
C’est-à-dire
a1 a0 = 0 , a1 = 1 .
La seule solution est donc P (X) = X.
Exercice 8. Dans Z/4Z, on prend les polynômes 1 + 2X et 1 − 2X. Alors
(1 + 2X)(1 − 2X) = 1 − (2X)2 = 1 car 22 = 0 .
Exercice 9. On montre que X − 1 divise f . C’est clair car f (1) = 0. Le résultat suit.
Exercice 12.
1. La vérification est directe, l’élément neutre pour la multiplication est e. Attention,
on a un anneau commutatif mais pas un sous-anneau de A du fait que l’élément
neutre change.
2. On a 1 = e + e0 . On multiplie par e, il suit e = e + ee0 et donc ee0 = 0. On essaye
l’application suivante
Φ : A → eA × e0 A , Φ(x) = (ex, e0 x) .
C’est clairement une bijection du fait que e + e0 = 1 (ce qui permet de construire
un inverse). Est-ce un morphisme?
Φ(1) = (e, e0 ) , OK
Φ(x + y) = (ex, e0 x) + (ey, e0 y) , OK
Φ(xy) = (exy, e0 xy) = (exey, e0 xe0 y) = (ex, ey)(e0 x, e0 y) . OK
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