MAT2611 : algèbre 2, hiver 2016 Travaux pratiques #1, 15 janvier 2016 Exercice 1 (ex. 25, p. 232). On définit l’ensemble des quaternions de Hamilton H := {a + bi + cj + dk : a, b, c, d ∈ R}. Cet ensemble devient un anneau unitaire et non-commutatif si on définit l’addition par (a + bi + cj + dk) + (a0 + b0 i + c0 j + d0 k) := (a + a0 ) + (b + b0 )i + (c + c0 )j + (d + d0 )k et la multiplication selon les règles i2 = j 2 = k 2 = −1, ij = −ji = k, jk = −kj = i, ki = −ik = j. Par exemple, (1 + i)(j + k) = 1 + k + ij + ik = 1 + k − k − j = 1 − j. On défini la norme N : H → [0, +∞) par N (a + bi + cj + dk) = a2 + b2 + c2 + d2 . (a) Prouvez que N (α) = αα pour tout α ∈ I, où a + bi + cj + dk := a − bi − cj − dk. Déduisez que H× = H × {0}. 1 (b) Prouvez que N (αβ) = N (α)N (β) pour tout α, β ∈ I. (c) Si I = {a + bi + cj + dk : a, b, c, d ∈ Z}, est l’anneau des quaternions de Hamilton intégraux, alors montrez qu’un élément de I est inversible dans I s-si sa norme est égale à 1. Déduisez que I × est un groupe de 8 éléments. Exercice 2 (ex. 7, 8, p. 231). (a) Soit A un anneau. Son centre est C = {z ∈ A : za = az pour tout a ∈ A} , c’est-à-dire, l’ensemble des éléments qui commutent avec tous les éléments de A. Prouvez que : — C est un sous-anneau de A, — si A a une unité, cet élément appartient également à C, — le centre d’un corps gauche ?? est un corps. (b) Décrivez le centre des quaternions réelles de Hamilton H. Montrez que {a + bi : a, b ∈ R} est un sous-anneau de H qui est un corps mais qu’il n’est pas contenu au centre de H. Exercice 3 (ex. 15, 16, 22, p. 231-2). Un anneau A est appelé anneau de Boole si a2 = a pour tout a ∈ A. (a) Montrez que tout anneau de Boole est commutatif. (b) Montrez que le seul anneau de Boole qui est également intègre est Z/2Z. (c) Donnez un exemple d’un anneau de Boole infini. Exercice 4 (ex. 17, 19, p. 231). (a) Soit A et B anneaux. Prouvez que le produit direct A × B, muni des opérations de l’addition (a, b)+(a0 , b0 ) := (a+a0 , b+b0 ) et de la multiplication (a, b)·(a0 , b0 ) := (aa0 , bb0 ), est un anneau. 1. Un anneau non-commutatif dont chaque élément non-zéro est inversible est appelé un corps gauche. 1 2 (i) Montrez que A × B est commutatif si et seulement si A et B sont commutatifs. (ii) Montrez que A × B possède d’une unité si et seulement si A et B possèdent d’une unité. (iii) Est-que c’est possible que A × B est un anneau intègre ? (b) Soit A un anneau. Prouvez que l’ensemble {(a, a) : a ∈ A} est un sous-anneau de A × A. Exercice 5 (ex. 26, 27, p. 232-3). (a) Soit K un corps. Une valuation discrète sur K est une fonction ν : K × → Z qui satisfait : - ν(xy) = ν(x) + ν(y), - ν est surjective, - ν(x + y) ≥ min (ν(x), ν(y)) pour tout x, y ∈ K × avec x + y 6= 0. L’ensemble A = {x ∈ K × : ν(x) ≥ 0} ∪ {0} est appelé l’anneau de valuation de ν. Prouvez que : (i) A est un sous-anneau de K qui contient l’unité de K. (ii) pour tout x ∈ K × on a que soit x ∈ A ou x−1 ∈ A. (iii) un élément x de A set inversible si et seulement si ν(x) = 0. (b) Soit K = Q and p un nombre premier. Montrez que la fonction νp (a/b) = `, où a c = p` · avec p - cd, b d est une valuation discrète. Aussi, prouvez que l’anneau de valuation discrète qui correspond à νp est l’anneau de tous les nombres rationnels dont dénominateur est co-premier à p. Décrivez les éléments inversibles de cet anneau.