π π - Tauziede

1ère S.
Chp.6. Angles orientés et repérage polaire.
2003/2004.
J. TAUZIEDE.
ANGLES ORIENTES ET REPERAGE POLAIRE.
I-
GENERALITES.
1°) Orientation du plan.
Un cercle C de centre O et de rayon r, r ∈ IR+* , étant donnés, il existe deux
façons de parcourir ce cercle :
- dans le sens des aiguilles d’une montre, dit sens indirect ou rétrograde
ou négatif,
- dans le sens inverse des aiguilles d’une montre, dit sens direct ou
positif ou trigonométrique.
C’est le dernier cas que nous privilégieront en mathématiques.
Définition 1. On appelle cercle trigonométrique, tout cercle de centre O appelée origine, de
rayon r = 1 et muni du sens direct.
Ce sens étant celui de tous les cercles du plan, on dit que le plan est orienté.
2°) Repérage d’un point sur le cercle trigonométrique.
Théorème. A tout point M du cercle trigonométrique, on
associe une famille de nombres réels, appelées abscisses
curvilignes de M.
iSi x est l’une d’entre elles, toutes les autres sont de
la forme x + 2kπ avec k ∈ Z .
iiIl existe une et une seule abscisse curviligne
appartenant à l’intervalle ]− π; π ] ; sa valeur absolue
est égale à la longueur du « petit » arc géométrique
d’extrémités I et M.
Remarques.
iSoit x un nombre réel; il existe un point M et un seul du cercle trigonométrique
dont x est une abscisse curviligne. On dit alors que M est le point du cercle
trigonométrique associé à x.
iiPour exprimer que deux réels x et y diffèrent d’un multiple entier de 2π , on note
x ≡ y [ 2π ] , que l’on lit : x est congru à y modulo 2π , ce que l’on peut encore
écrire ∃k ∈ Z : x = y + 2kπ . Ainsi les abscisses curvilignes d’un même point du
cercle trigonométriques sont égales à 2π prés.
Exemple.
On remarque que (AC) est perpendiculaire à (BD). Soit x
l’abscisse curviligne du point A. Pour repérer le point B,
il suffit d’enrouler d’un quart de tour la droite réelle
dans le sens direct, ainsi l’abscisse curviligne du point B
est x + π , celle de C x + π et enfin celle de D x + 3π .
2
2

L’abscisse curviligne de l’arc AB est x + π − x = π .
2
2
-1-
Comment déterminer la mesure principale d’un angle ?
23π
23π
Déterminons la mesure principale de
. Soit α ∈ ]− π ;π ] la mesure principale de
.
6
6
23π
On cherche un entier relatif k tel que : α =
+ 2kπ .
6
23π


On a  α =
+ 2kπ  . Or,
6


(− π < α ≤ π ) ⇔  − π < 23π + 2kπ ≤ π  ⇔  − 23π − π < 2kπ ≤ − 23π + π 
6
6
6




17π 
17 
5
5

 29
 29π
< k ≤ −1 − 
< k ≤ −  ⇔ − 2 −
< 2kπ ≤ −
 ⇔ −
−
6
6 
12 
12
12 

 12

Or, k est un entier relatif, donc k = −2 .
23π 24π
23π
π
Il vient alors α =
+ 2(− 2 )π =
−
=−
6
6
6
6
23π
π
La mesure principale de
est − .
6
6
π
23π
Attention, surtout ne pas écrire que «
= − » C’EST FAUX !
6
6
π 23π
On écrit : − =
+ 2kπ avec k ∈ Z .
6
6
π
23π
Cela signifie que les points M d’abscisse curviligne − et M’ d’abscisse curviligne
6
6
sont confondus sur le cercle trigonométrique, mais pourtant ces deux points n’ont pas la
même abscisse curviligne.
Comment savoir si deux points M et M’ d’abscisses curvilignes données sont confondus
sur le cercle trigonométrique ?
C’est le ii) de la remarque du 2°). Deux points M ( x ) et M (′y ) sont confondus sur le cercle
trigonométriques si et seulement si x − y est un multiple entier de 2π .
 37π 
Les points M 
 et M ′ π  marquent-ils le même point sur le cercle trigonométrique.
 
 12 
 12 
36π
37π π
−
=
= 3π . Comme 3π n’est pas un multiple de 2π , les points M et M’ ne
12
12 12
sont pas confondus sur le cercle trigonométrique.
On a
3°) Rotation du plan.
Définition. Soit O un point du plan et α un nombre réel. On appelle rotation de centre O et
d’angle α, notée R( O; α ) , la transformation du plan dans lui-même, qui à tout point M
OM = OM '
distinct du point O associe le point M ' tel que : 
.
OM
; OM ' = α

(
-2-
)
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II-
2003/2004.
ANGLES ORIENTES D’UN COUPLE DE VECTEURS.
1°) Mesures de l’angle orienté d’un couple de vecteurs non nuls.
i-
Soit u et v deux vecteurs non nuls et O un point du
plan. Notons A’ et B’ les points tels que OA ' = u et
OB ' = v . Les demi-droites [OA' ) et [OB' ) coupent
C( O;1 ) en A et B.

ii- Les mesures de l’arc orienté AB sont les mesures de
( )
l’angle orienté du couple de vecteurs u; v c’est à
(
)
dire celles de OA; OB .
2°) Propriétés des angles orientés.
a- Angles et colinéarité.
Théorème.
iii-
Soient u et v deux vecteurs non nuls.
( )
u et v sont colinéaires et de sens contraires équivaut à (u; v ) = π [ 2π ] .
Soit u et v sont colinéaires de même sens équivaut à u; v = 0 [ 2π ].
Démonstration.
Cela résulte de la définition. Puisque Soit u et v sont colinéaires, il existe un réel k tel que
v = ku avec k < 0 si u et v sont de sens contraires et k > 0 s’ils sont de même sens.
( ) ( )
( ) ( )
On a alors u; v = u; u = 0 [ 2π ] et u; v = u;−u = π [ 2π ] .
b- Relation de Chasles.
Théorème 1. Relation de Chasles pour les angles orientés.
( )( ) ( )
Pour tous vecteurs non nuls u, v, w : u; v + v; w = u; w [ 2π ] .
Démonstration.
Sans restreindre au théorème, on peut supposer les vecteurs u, v, w unitaires. Soit alors, A, B,
et C les points de C( O;1 ) tels que OA = u , OB = v et OC = w et a, b et c les abscisses
curvilignes des points A, B, et C.
(
)
(
)
(
)
On a alors : OA; OB = b − a , OB; OC = c − b et OA; OC = c − a . On vérifie que
( b − a ) + ( c − b ) = ( c − a ) d’où le théorème.
-3-
Corollaire.
Pour tous vecteurs u et v non nuls :
iiiiiiivv-
(u; v ) = −(v; u ) [2π ],
(u;−v ) = (u; v )+ π [2π ],
(− u; v ) = (u; v )+ π [2π ],
(− u;−v ) = (u; v ) [2π ],
∀λ ∈ IR , (λu; λv ) = (u; v ) [ 2π ] .
*
Démonstration.
( ) ( ) [2π ] ; en prenant
(u; v )+ (v; u ) = (u; u )[2π ] c’est à dire (u; v ) = −(v; u ) [2π ].
i-
D’après la relation de Chasles, u; v = − v; u
ii-
Toujours
d’après
la
( )( ) ( )
relation
de Chasles,
en
prenant
w = u , on a
w = −v ,
u; v + v;−v = u;−v [ 2π ] , mais v;−v = π [ 2π ], d’où u;−v = u; v + π
Même démonstration qu’en ii)
iv-
De
(− u; v ) = (u; v )+ π [2π ] et
c’est à dire (− u;−v ) = (u; v ) [ 2π ] .
v-
A voir.
qu’en
ii),
a
( ) ( ) [2π ].
( )
(− u;−v ) = (− u; v )+ (v;−v )[2π ]. Or d’après iii)
(v;−v ) = π [2π ] donc (− u;−v ) = (u; v )+ π + π [2π ]
iii-
même
on
-4-
1ère S.
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III-
2003/2004.
LIGNES TRIGONOMETRIQUES.
1°) Repère orthonormal direct.
Définition.
(
)
On dit qu’un repère O; i; j du plan est orthonormal direct (en abrégé noté
 i = j =1

ROND) lorsque : 
. Le couple de vecteurs i; j est appelé base orthonormale
π
 i; j = 2 [ 2π ]
directe (et notée BOND).
2°) Cosinus et sinus d’un angle de vecteurs.
( )
( )
a- Cosinus et sinus d’un réel x.
Définition.
(
Soit C( O;1 ) le cercle trigonométrique et A, B deux points distincts de ce cercle
)
tels que O; OA; OB forme un ROND. Soit M un point de C telle que x est une mesure en
(
)
radian de l’angle OA; OM .
On appelle cosinus du réel x, et on note cos x l’abscisse du point M dans le ROND
(O; OA; OB ).
On appelle sinus du réel x, et on note
(O; OA; OB ).
sin x , l’ordonnée du point M dans le ROND
b- Cosinus et sinus d’un angle de vecteurs.
( )
( )
En notant u = OA et v = OB , on a u; v = x et toute autre mesure de u; v est de la forme
x + 2kπ avec k ∈ Z . Ainsi, cos( x + 2kπ ) = cos x et sin( x + 2kπ ) = sin x .
( )
Définition. Le cosinus (resp. le sinus) d’un angle orienté d’un couple de vecteurs u; v est
le cosinus (resp. le sinus) de l’une quelconque de ses mesures exprimée en radians.
( )

c- Lien entre cos u; v et cos AOB lorsque u = OA et v = OB .
( )
Théorème. L’angle orienté du couple de vecteurs u; v et l’angle géométrique formé par
ces deux vecteurs on le même cosinus.
Démonstration.
-5-
( )

Notons α l’angle géométrique AOB et notons x = u; v la mesure principale de l’angle
( )
orienté du couple de vecteurs u; v .
On a α = x d’après I 2°) ii que :
Si x ≥ 0 alors x = x et donc cos x = cos α ,
i-
Si x ≤ 0 alors x = −x et donc cos α = cos( − x ) = cos x .

D’où cos OA; OB = cos AOB .
ii-
(
)
3°) Premières relations trigonométriques et angles associés.
Propriétés. ∀x ∈ IR , ∀k ∈ Z :
icos( x + 2kπ ) = cos x ,
iisin( x + 2kπ ) = sin x ,
iiicos 2 x + sin 2 x = 1
iv− 1 ≤ cos x ≤ 1 ,
v− 1 ≤ sin x ≤ 1 .
Calculer sin α et cos β sachant que :
Exercice.
* − π < α < 0 et cos α = 0,6
2
* π < β < π et sin β = 0,8 .
2
Que dire des points associés à α et β sur le cercle trigonométrique ?
De la relation cos 2 x + sin 2 x = 1 , on a
sin 2 α = 1 − cos 2 α = 1 − ( 0,6 ) = 0,64 = ( 0,8 )
2
2
cos 2 β = 1 − sin 2 β = 1 − ( 0,8 ) = 0,36 = ( 0,6 )
2
Et
2
Comme − π < α < 0 , on a sin α < 0 et donc sin α = −0,8
2
Puis de π < β < π , on a cos β < 0 et donc cos β = −0,6 .
2
Ainsi les points A( 0,6;−0,8 ) et B( − 0,6;0,8 ) sont diamétralement opposés sur le cercle
trigonométrique.
IV-
REPERAGE POLAIRE.
1°) Coordonnées polaires d’un point.
Définition.
(
)
Soit O; i; j un ROND du plan. Soit M un point distinct du point O. Dire que
[ ρ; θ ] est un couple de coordonnées polaires du point M dans le ROND
ρ = OM et θ = (i; OM ). On note M [ ρ; θ ] dans cet ordre.
( )
Le point O est appelé pole, θ angle polaire et O; i l’axe polaire.
-6-
(O; i; j ) signifie que
SCHEMA
1ère S.
Chp.6. Angles orientés et repérage polaire.
2003/2004.
[
]
Placer le point A 2; π .
4
Exemple.
Remarques.
iSi ρ = 0 alors M et O sont confondus et θ n’est pas défini.
iiiii-
(
)
Si M est un point du cercle trigonométrique avec i; OM = x alors M [1; x ].
Réciproquement, la donnée d’un couple [ ρ; θ ] avec r > 0 et θ ∈ IR détermine un
(
)
point M et un seul tel que ρ = OM et θ = i; OM .
(O; i; j ) un ROND du plan et M un point distinct du point O de
coordonnées polaires [ ρ; θ ] . On a OM = ρ(cos θ i + sin θ j ) .
Proposition. Soit
Démonstration.
Soit
(O; i; j )
un
ROND
∃( x; y ) ∈ IR 2 : OM = xi + y j .
du
plan
( x; y )
M ≠ O.
et
est le couple de
)
(
coordonnées cartésiennes de M dans O; i; j .
Comme M ≠ O , on a OM ≠ 0 . Soit N le point défini par
ON = OM .
OM
Si C est le cercle trigonométrique de centre O alors
N ∈ C (car ON = 1 ) et on a d’après la définition :
ON = cos θ i + sin θ j
(
(
)
(
où θ = i; ON [ 2π ] . Ainsi, OM = OM cos θ i + sin θ j
)
)
ce qui
équivaut à OM = ρ cos θ i + sin θ j .
2°) Lien entre coordonnées cartésiennes et polaires.
(
)
Théorème. Lorsque dans un ROND O; i; j , un point M distinct du point O a pour
coordonnées cartésiennes ( x; y ) et coordonnées polaires [ ρ; θ ] , alors :
y
cos θ = x
ρ = x2 + y2 ,
sin θ = .
ρ
Démonstration.
(
ρ
)
On considère un ROND O; i; j , et soit C le cercle trigonométrique de centre O. Soit M un
point distinct de O. La demi-droite [OM ) coupe C en un point N. Ainsi, OM et ON sont
colinéaires et de même sens. Comme OM = ρ et ON = 1 , on a : OM = ρON .
(
)
Or N ( cos θ; sin θ ) car N ∈ C et i; ON = θ [ 2π ] donc M ( ρ cos θ; ρ sin θ ) .
-7-
Par unicité des coordonnées d’un point, on en déduit que x = ρ cos θ et y = ρ sin θ . Par
ailleurs, OM 2 = x 2 + y 2 = ρ 2 et puisque OM = ρ > 0 , il vient ρ = x 2 + y 2 .
[ ]
(
)
Soit M 2; π dans un ROND O; i; j donc ses coordonnées cartésiennes sont :
4
Exemple 1.
x = 2 cos π = 2 et y = 2 sin π = 2 c’est à dire M
4
4
Exemple 2.
(
)
2; 2 .
(
)
Soit M un point de coordonnées cartésiennes 1; 3 . Ses coordonnées polaires
(
)
dans le ROND O; i; j sont :

ρ = 1+ 3 = 2

1
 cos θ = 2

 sin θ = 3
2

V-
⇔

ρ=2


π
π
d’où M 2; π .
 q = 3 [ 2π ] ou q = − 3 [ 2π ]
3
 π
π >0
sin
0
tandis
que
sin
>
−

3
3
( )
[ ]
EQUATIONS ET INEQUATIONS TRIGONOMETRIQUES.
1°) Angles associés.
2°) Equations trigonométriques.
a- Résolution de cos x = cos a avec a∈IR.
Théorème.
{
Soit a∈IR ; cos x = cos a ⇔ xx==−aa++22kkππ , k ∈ Z .
Résoudre l’équation trigonométrique, cos x = 2 .
2
On sait que cos π = 2 , donc l’équation est équivalente à cos x = cos π c’est à dire
4
4
2
Exemple.
x = π + 2kπ ou x = − π + 2kπ avec k ∈ Z .
4
4
Il y’a une infinité de solutions mais seulement deux images sur le cercle trigonométrique.
b- Résolution de sin x = sin a , avec a∈IR.
{
Théorème.
= a + 2kπ , k ∈ Z .
Soit a∈IR ; sin x = sin a ⇔ x =x π
− a + 2kπ
Exemple.
Résoudre l’équation trigonométrique, sin x = − 1 .
2
2
-8-
1ère S.
Chp.6. Angles orientés et repérage polaire.
2003/2004.
( )
( )
On sait que sin − π = − 1 , donc l’équation s’écrit sin x = sin − π ce qui équivaut à
6
2
2
6
x = − π + 2kπ soit encore x = − π + 4kπ , k ∈ Z , c’est à dire x ≡ − π [ 2π ],
2
6
3
3
ou
x = π − π + 2kπ soit encore x = 5π + 4kπ avec k ∈ Z , c’est à dire x ≡ 5π [ 2π ] .
2
6
3
3
Remarquons que cette dernière expression n’est pas la mesure principale, on a
5π = 6π − π = 2π − π ainsi la dernière solution est x ≡ − π [ 2π ].
3
3
3
3
On constate alors qu’il s’agit des mêmes solutions.
{
}
Conclusion : S IR = x ≡ − π [ 2π ] .
3
Une seule image sur le cercle trigonométrique.
c- Résolution de sin U ( x ) = cos V ( x ) .
)
(
On sait que cos X = sin X + π , ce qui donne :
2
(
sin U ( x ) = cos V ( x ) ⇔ sin U ( x ) = sin V ( x ) + π
2
)
et l’on se reporte à b).
Résoudre sin 3x = cos x .
Exemple.
(
)
(
)
Puisque cos x = sin x + π , l’équation s’écrit sin 3x = sin x + π soit alors :
2
2
3x = x + π + 2kπ ce qui donne x = π + kπ , k ∈ Z ,
2
4
ou
(
)
3x = π − x + π + 2kπ ce qui donne 4x = π + 2kπ ou encore x = π + kπ , k ∈ Z .
2
8
2
2
{
[ ]}
Conclusion : S IR = π [π ] ; π π .
8 2
4
Ce qui donne 2+4=6 images sur le cercle trigonométriques.
Lire le livre transmath page 281 + les 2 exos.
3°) Inéquations trigonométriques.
Il s’agit de résoudre des inéquations de la forme cos x ≤ cos a ou sin x ≤ sin a avec
a ∈ IR . Les solutions de ces inéquations se lisent sur le cercle trigonométrique.
a- Pour cos x ≤ cos a .
-9-
•
•
•
On résout d’abord l’équation cos x = cos a qui admet les solutions x ≡ a [ 2π ]
ou x ≡ −a [ 2π ] qui s’écrit aussi x ≡ 2π − a [ 2π ] .
Sur un cercle trigonométrique, on place les images solutions. En supposant
a < 2π − a on a a ≤ x ≤ 2π − a . Or on ne change pas le sens de l’inéquation
en ajoutant ou retranchant tout multiple de 2π , c’et à dire en ajoutant 2kπ
avec k ∈ Z , ce qui donne a + 2kπ ≤ x + 2kπ ≤ 2π − a + 2kπ avec k ∈ Z .
L’ensemble S des solutions est la réunion des intervalles
[a + 2kπ ; 2π − a + 2kπ ] avec k ∈ Z , que l’on note :
S IR =  [ a + 2kπ ; 2π − a + 2kπ ] .
k ∈Z
b- Pour sin x ≤ sin a .
•
•
On résout d’abord l’équation sin x = sin a qui admet les solutions x ≡ a [ 2π ]
ou x ≡ π − a [ 2π ] qui s’écrit aussi x ≡ π − a − 2π [ 2π ] c’est à dire
x ≡ −π − a [ 2π ].
En supposant − π − a < a on a − π − a ≤ x ≤ a et on obtient :
S IR =
Résoudre sur I = [ − π; π ], l’inéquation trigonométrique − 1 ≤ sin x ≤ 2 .
2
2
Exemple.
•
•
VI-
 [− π − a + 2kπ ; a + 2kπ ]
k ∈Z
( )
On résout l’équation sin x = − 1 ce qui donne sin x = sin − π soit deux
6
2
solutions x = − π + 2kπ ou x = 5π + 2kπ avec k ∈ Z .
6
6
On résout ensuite sin x = 2 ce qui donne x = π + 2kπ ou x = 3π + 2kπ .
4
2
4
RELATIONS TRIGONOMETRIQUES.
- 10 -