Justifiez toutes vos réponses ! ! !

Licence L3, Anneaux et arithmétique (ANAR)
Année 2008-2009
Examen juin 2009, durée 2 heures
Justifiez toutes vos réponses ! ! !
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Le barème envisagé est entre parenthèses et est donné à titre indicatif.
Exercice 1. (3 points) Soit (A; +, ·) un anneau unitaire idempotent (c’est-à-dire tout
élément a ∈ A vérifie a · a = a).
1. Montrer 1 = −1 dans A et que A est commutatif.
2. Montrer que ab(a + b) = 0 pour tous a et b dans A.
3. Montrer que si A n’a pas de diviseur de zéro et n’est pas réduit à {0}, alors A
est le corps à deux éléments.
Exercice 2. (4 points) Le polynôme suivant f ∈ Q[X, Y ] est-il irréductible ?
Ä
ä
f = Y X 4 − Y X 3 + Y 3 + 1 X 2 − 2 Y 3X + Y 5 + Y 3 − 1
Ä
ä
Ä
ä
= Y 5 + X2 − 2 X + 1 Y 3 + X4 − X3 Y + X2 − 1
Exercice 3. (5 points) On considère les idéaux (2X), (X, Y ) et (X, Y, 2) de Z[X, Y ].
Lesquels sont premiers ? Lesquels sont maximaux ?
Exercice 4. (8 points) Soit f = X 3 + X 2 + X − 1 ∈ F5 [X]. On note K = F5 [X]/(f ),
K ∗ le groupe multiplicatif de K et α l’image de X par le morphisme canonique
π : F5 [X] → K.
1. Montrer que K est un corps. Quelle est sa caractéristique ? Son cardinal ? Donner
une base du F5 -espace vectoriel K.
2. Quel est l’inverse de α2 + 2 dans K ?
3. Quels sont les ordres multiplicatifs possibles des éléments du groupe K ∗ ?
4. Déterminer l’ordre de α dans le groupe K ∗ , en déduire un élément primitif
(générateurs du groupe K ∗ ).
5. Déterminer le polynôme minimal de 2α2 sur F5 .