Probabilités, MATH 424 Feuille de travaux dirigés 3. Solutions.

Probabilités, MATH 424
Feuille de travaux dirigés 3. Solutions.
Solution (Loi uniforme).
1. On jette une pièce équilibrée, On appelle X la variable aléatoire qui vaut 0 si on obtient Face
et 1 si on obtient Pile. On considère Ω = {Pile, Face}, A = P (Ω) et l’équiprobabilité définie par
1
P(Pile) = P(Face) = .
2
On en déduit au passage la loi de X :
P(X = 0) = P(Face) =
et
1
2
1
P(X = 1) = P(Pile) = .
2
La fonction de répartition de X est

x<0
 0 si
1/2 si 0 ≤ x < 1 .

1 si
x≥1
L’espérance de X est
1
E(x) = 0.P(X = 0) + 1P(X = 1) = .
2
2. On jette un dé équilibré et on appelle X le résultat du lancer. On considère Ω = {1, . . . , 6}, A = P (Ω) et l’équiprobabilité définie par
1
P(k) = .
6
On note X la valeur du dé obtenue. Par conséquent, la loi de X est donnée par
1
P(X = k) = P(k) = .
6
La fonction de répartition de X est

0




1/6




 2/6
3/6


4/6





5/6


1
si
si
si
si
si
si
si
x<1
1≤x<2
2≤x<3
3≤x<4 .
4≤x<5
5≤x<6
6≤x
L’espérance de X est
1
1 6.7 7
E(X) = (1 + · · · + 6) =
= .
6
6 2
2
3. L’espérance d’une loi uniforme de paramètre n est
1
1 n(n + 1) n + 1
E(X) = (1 + · · · + n) =
=
.
n
n
2
2
1
Solution (Loi de Bernouilli).
1. On jette une pièce dont la probabilité d’apparition d’un Pile est 2/3. On appelle X la
variable aléatoire qui vaut 0 si on obtient Face et 1 si on obtient Pile. La loi de X est
P(X = 0) = 1/3, P(X = 1) = 2/3.
La fonction de répartition de X est

x<0
 0 si
1/3 si 0 ≤ x < 1

1 si
x≥1
L’espérance de X est E(X) = 2/3.
2. De manière générale, si X suit une loi de Bernouilli de paramètre p, la loi de X est
P(X = 0) = 1 − p et P(X = 1) = p,
la fonction de répartition de X est


0
si
x<0
1 − p si 0 ≤ x < 1 .

1
si
x≥1
L’espérance de X est E(X) = p.
3. Dans une urne on considère B boules blanches, N boules noires et 1 boule rouge. On tire simultanément n boules avec
n ≤ B + N + 1. On appelle X la variable aléatoire égale à 1 si la boule rouge est tirée et 0 sinon. Calculons la loi de X.
n
(a) Si l’on a pas de boule rouge on a tiré n boules parmis les boules noires et blanches, il y a donc CB+N
possibilités
et donc
Cn
P(X = 0) = n B+N .
CB+N+1
n−1
(b) Si l’on tire la boule rouge on aura donc choisi n − 1 boules parmis les boules noires et blanches, il y a donc CB+N
possibilités et donc
Cn−1
P(X = 1) = n B+N .
CB+N+1
On vérifie que la somme des probabilités vaut bien 1, en utilisant la formule du triangle de Pascal. Par conséquent,
Cn−1
la variable X suit la loi de Bernouilli de paramètre p = Cn B+N . L’espérance de X est donc
B+N+1
n−1
CB+N
n
CB+N+1 .
Solution (Loi binomiale).
1. On lance n fois de suite une pièce équilibrée et on note X la somme des résultats obtenus
avec la convention 0 pour Face et 1 pour Pile. La variable X est à valeurs dans {0, 1, . . . , n}. Fixons k entre 0 et n et
cherchons P(X = k). Chaque n-uplet ayant la même probabilité 2n d’apparaître, il suffit de compter combien de ces
n-uplets comptent exactement k “1” et n − k “0”, ce qui revient à choisir une combinaison de k indices parmis n, il y
en a donc Cnk . Par conséquent la loi de X est
∀k ∈ {0, . . . , n} P(X = k) =
Cnk
.
2n
On vérifie que l’on a bien une loi de probabilité par application de la formule du binôme. L’espérance de X est donnée
par la formule
n
n
n
Ck−1 n
Ck
E(X) = ∑ kP(X = k) = ∑ k nn = ∑ n n−1
= .
2n
2
k=0
k=0 2
k=1
2. Supposons que X suive la loi binomiale B (n, p) avec
pk = P(X = k) = Cnk pk (1 − p)n−k .
Pour vérifier que que nous avons bien une loi de probabilité, il suffit d’utiliser la formule du binôme :
n
∑
k=0
n
pk =
∑ Cnk pk (1 − p)n−k = (p + (1 − p))n = 1.
k=0
2
Nous remarquons que l’expérience faîte ci-dessus consiste en n expériences de type Bernouilli indépendantes avec
même paramètre.
Par conséquent nous allons vérifier qu’une loi binomiale est la somme de n variables aléatoires indépendantes avec
même paramètre. Notons X1 , . . . , Xn nos variables aléatoires de paramètre p et X = X1 + · · · + Xn . Soit k compris entre 0
et n. Pour avoir X = k, il faut et il suffit que k parmis les variables X1 , . . . , Xn prennent la valeur 1 et les autres prennent
la valeur 0. Par conséquent :
P(X = k) =
P(X1 = i1 , . . . Xn = in ).
∑
(i1 ,...,in )|i1 +···+in =k
Par indépendance des variables aléatoires
P(X1 = i1 , . . . Xn = in ) = P(X1 = i1 ) . . . P(Xn = in ) = pk (1 − p)n−k
Le cardinal de l’ensemble des suites (ik ) dont les termes valent 0 ou 1 et dont la somme vaut k est Cnk . Par conséquent
nous avons
P(X = k) = Cnk pk (1 − p)n−k ,
ce qui montre bien le résultat voulu. L’espérance étant linéaire nous obtenons que E(X) = np.
3. On associe à chacun des n clients une variable Xi qui vaut 1 si le client choisit la caisse numéro 1 et 0. Nous avons donc
m loi de Bernouilli de paramètre 1/m indépendantes. Par ce qui précède la loi cherchée X est la somme X1 + · · · + Xn .
On en déduit donc que X suit une loi binomiale B (n, 1/m), son espérance est n/m.
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