BCPST1 C Devoir libre n12: Variables aléatoires réelles finies. Pour le 01/06 2011/2012 On considère une urne contenant N boules dont r boules blanches et N −r boules noires (avec 0 < r 6 N ). Dans cette urne, on prélève les boules une à une et sans remise, jusqu'à l'obtention de toutes les boules blanches, et on note X le nombre de tirages qu'il est nécessaire d'eectuer pour cela. Le but de l'exercice est de déterminer la loi de X ainsi que son espérance et sa variance. 1. a. Traiter le cas N = 4 et r = 1. b. Traiter le cas N = 4 et r = 2. 2. Dans le cas r = 1, reconnaître la loi de X . Donner son espérance. 3. Même question dans le cas r = N . 4. On étudie maintenant le cas général 1 < r < N . a. Déterminer l'ensemble des valeurs prises par X . b. Soit k l'une de ces valeurs. (i) Déterminer la probabilité pour qu'au cours des k − 1 premiers tirages soient apparues r − 1 boules blanches (on pourra reconnaître une loi usuelle). k−1 r−1 (ii) Vérier que P(X = k) = . N r c. En déduire les valeurs des sommes N N N X k−1 X k X k+1 , , . r − 1 r r + 1 k=r k=r k=r d. n−1 n Après avoir prouvé que n =p , montrer que p−1 p E(X) = e. r(N + 1) . r+1 Calculer E X(X + 1) et en déduire V(X). Page 1 sur 1