VARIABLES ALEATOIRES 1 I Loi d’une variable aléatoire Généralités Définition Une variable aléatoire sur Ω est : • Vocabluaire. On parle de variable aléatoire réelle (v.a.r.) lorsque : Exemple 1 — On lance deux fois un dé équilibré : Ω = ~1 , 62 . La fonction X :« somme des deux résultats obtenus » est une variable aléatoire. L’ensemble des valeurs prises par X est : Exemple 2 — On lance une pièce n fois de suite. On note X la variable aléatoire égale au numéro du premier lancer qui donne pile, si l’on obtient au moins un pile, et qui vaut n + 1 sinon. X(Ω) = • Notation. Soit X une v.a.r. : Pour A ⊂ R, l’événement {ω ∈ Ω | X(ω) ∈ A} est noté : De même, si x ∈ R : • {X = x} = 2 • {X ≤ x} = Déterminer la loi de X : avec quelle probabilité X prend ses valeurs ? Définition La loi de probabilité d’une v.a. X est l’ensemble de couples : En pratique : déterminer la loi de X revient à i) ii) Exemple 3 — On lance un dé équilibré et on note X le résultat obtenu. Déterminer la loi de X. Exemple 4 — Dans l’exemple 2, déterminer la loi de X si la pièce donne pile avec probabilité p. Exemple 5 Une astuce classique — On tire successivement et sans remise deux boules dans une urne de n boules numérotées de 1 à n. On note X le plus grand des deux numéros obtenu. Déterminer la loi de X. Exemple 6 Ex. 109.1, banque CCP — Une urne contient deux boules blanches et n − 2 boules rouges que l’on tire une à une sans remise. On note X le rang de sortie de la première boule rouge. Déterminer la loi de X. • Remarque. Les événements {X = k}, k décrivant X(Ω), forment un : 3 . Espérance Définition Soit X une variable aléatoire réelle sur Ω. L’espérance de X est le réel : • Vocabulaire. Lorsque E(X) = 0, on dit que : Exemple 7 — Si X est constante de valeur a : Exemple 8 — Calculer E(X) dans le cas des n lancers de pièce (X est le numéro du 1er lancer qui donne pile) P Exercice 1 Une autre expression de l’espérance — Montrer que l’on a aussi E(X) = X(ω)P ({ω}). ω∈Ω Théorème : Propriétés de l’espérance Soient X, Y deux variable aléatoires réelles sur Ω et soient a, b ∈ R. 1. Linéarité. 2. • Positivité. • Croissance. Exercice 2 — Démontrer le point 1 (linéarité). j Attention j En général : Théorème : Formule de transfert Soit f : I → R. On suppose que X est à valeurs dans I. Alors : Exercice 3 — Démontrer cette formule. Exemple 9 — On lance un dé équilibré, on note X le résultat obtenu. Calculer : E(X 2 ) et E(eX ).