P57 Exercices : variables aléatoires discrètes

PC
Lycée Thiers
Année 2016-2017
P57 Exercices : variables aléatoires discrètes
♥ Exercice 1
Mines PC 2015
Deux variables aléatoires X et Y indépendantes suivent une loi géométrique de paramètre p. On note
U = min { X , Y } et V = max { X , Y }.
1. Déterminer la loi conjointe du couple (U, V ) puis la loi de U .
2. Donner l’espérance et la variance de U .
♥ Exercice 2
Mines PC 2015
Une urne contient une proportion p ∈]0 ; 1[ de boules noires et q = 1 − p de boules blanches. On effectue
des tirages successifs avec remise. On note X la longueur de la première suite de boules de même
couleur, Y la longueur de la seconde.
Déterminer la loi conjointe de ( X , Y ), en déduire la loi, l’espérance et la variance de X , puis celles de Y .
Vérifier que E ( X ) Ê 2.
♦ Exercice 3
ENSEA PC 2015
Soient N ∈ N∗ et x un réel tel que | x| < 1.
1
·
(1 − x) N +1
2. Déterminer E ( X ) où X est une variable aléatoire réelle de loi de probabilité :
!
Ã
k−1 N
p (1 − p)k−N .
∀ k ∈ N \ {0, 1, ..., N − 1} = {k ∈ N, k Ê N } , P ( X = k) =
N −1
1. Déterminer le développement en série entière de
♦ Exercice 4
ENSEA PC 2015
On considère une suite ( X i ) i∈N∗ de variables de Bernoulli mutuellement indépendantes de même paran
X
mètre p ∈]0 ; 1[ et pour i ∈ N∗ on pose Yi = X i X i+1 . Enfin, on pose S n =
Yi . Déterminer la loi de Yi ,
i=1
l’espérance et la variance de S n .
♥ Exercice 5
Mines PSI 2015
Soit X une variable aléatoire d’un espace probabilisé (Ω, A , P ), telle que X (Ω) = N. On note G X sa
fonction génératrice.
1 − G X (r)
Montrer que ∀ r ∈]0 ; 1[, P ( X Ê n) É
et étudier les cas d’égalité.
1 − rn
♠ Exercice 6
Mines PC 2015
Une urne contient des boules blanches et des boules noires. La probabilité de tirer une boule blanche
est p > 0, celle de tirer une boule noire est q > 0 avec p + q = 1. On effectue des tirages avec remise. On
note X la variable aléatoire correspondant à l’apparition de la r -ième boule blanche au n-ième tirage.
1. Étudier les cas r = 1, 2 ou 3 et donner la loi de X pour r quelconque.
2. Donner l’espérance de X .
+∞
X
a n xn . Trouver le rayon de convergence de cette série entière.
3. On écrit G X ( x) =
n=0
4. Exprimer a n+1 en fonction de a n , établir une équation différentielle vérifiée par G X et la résoudre.
♦ Exercice 7
Mines-Ponts PC 2016
¶
1
X suit une loi géométrique. Existence et calcul de E
?
X
µ
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R. Thomas
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Lycée Thiers
Année 2016-2017
♦ Exercice 8
CCP PC 2016

1/3 1/3 1/3
On pose A = 1/3 1/3 1/3.
1/3 1/3 1/3
1. A est-elle diagonalisable ?
2. ( X n )n∈N est une suite de variables aléatoires à valeurs dans [[1 ; 3]]. On suppose que pour tout
k ∈ [[1 ; 3]], la variable ( X n+1 | X n = k) suit une loi uniforme sur [[1 ; 3]]. Montrer que
∀ n ∈ N,



P ( X n = 1)
P ( X 0 = 1)
P ( X n = 2) = A n P ( X 0 = 2) .
P ( X n = 3)
P ( X 0 = 3)

3. Une matrice M ∈ M3 (R) est dite stochastique si, et seulement si,
– ∀( i, j ) ∈ [[1 ; 3]]2 , m i j Ê 0
 
1

– M × V = V où V = 1.
1
(a) A est-elle une matrice stochastique ?
(b) Déterminer P ∈ O n (R) telle que P −1 × A × P = D diagonale.
4. Déterminer lim P ( X n = k). Interpréter.
n→+∞
♥ Exercice 9
CCP PC 2016 µ
¶
X (ω )
2
On note A =
où X et Y sont deux variables aléatoires définies sur un espace probabi0
Y (ω )
lisé (Ω, T , P ).
¶
µ
¶
µ
3
1
et Y suit une loi binomiale B n, .
X suit une loi binomiale B n,
4
4
1. Calculer la probabilité pour que A soit inversible.
2. Calculer la probabilité pour que A soit diagonalisable.
♦ Exercice 10
CCP PC 2016
X et Y sont deux variables aléatoires à valeurs dans N. X ,→ P (λ), (Y | X = n) ,→ B ( n, p).
1. Calculer P ( X = j ∩ Y = i ).
2. Calculer P (Y = i ).
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R. Thomas