Exercice 1 - LAMA

Probabilités, MATH 424
Feuille de travaux dirigés 4 : Variables aléatoires dicrètes (Univers infini dénombrable)
Exercice 1. (Loi géométrique)
1. On lance une pièce équilibrée jusqu’à l’apparition de Pile.
(a) Donner un modèle probabiliste.
(b) Quelle est la probabilité que Pile n’apparaisse jamais (on pourra appeler En l’évènement “Pile n’apparaît pas
durant les n premiers lancers” et appliquer la continuité monotone décroissante).
(c) On exclut le cas précédent et on appelle X la variable aléatoire correspondant à la première apparition de Pile.
Donner la loi de X et représenter sa fontion de répartition. Calculer l’espérance.
2. On lance un dé équilibré et on appelle X la variable correspondant à la première apparition du numéro 1 (avec la même
hypothèse que dans la question précédente). Donner la loi de X et représenter sa fonction de répartition. Calculer
l’espérance.
3. On dit que X suit une loi géométrique de paramètre p ∈]0, 1[ et on note X ∼ G (p) si X est à valeurs dans N∗ = {1, 2, ..}
avec pour tout n ∈ N∗ :
pn = P(X = n) = p(1 − p)n−1 .
Vérifier que c’est bien une loi de probabilité. Calculer l’espérance.
Quel lien peut on faire entre la loi G (p) et la loi de Bernouilli ?
Exercice 2. (Loi de Poisson)
1. On dit qu’une variable aléatoire X suit une loi de Poisson de paramètre λ ∈ R∗+ et on note X ∼ P (λ) si X est à valeurs
dans N avec
λn
∀n ∈ N, pn = P(X = n) = e−λ .
n!
Montrer que c’est bien une loi de probabilité. Représenter sa fonction de répartition.
2. Représenter la suite des (pn ) pour λ = 2 puis pour λ = 20.
3. Soit λ > 0 fixé. On lance n fois une pièce amenant Pile avec la probabilité pn = λ/n.
Soit Xn le nombre de fois où Pile apparaît durant ces n lancers. Donner un modèle probabiliste.
(a) Quelle est la loi de Xn ?
k
(b) Pour k fixé entre 0 et n montrer que limn→+∞ P(Xn = k) = e−λ λk! .
Autrement dit, lorsque n devient grand, la loi binomiale tend vers la loi de Poisson.
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