Trigonométrie 2

Chapitre
Trigonométrie
2
I. Rappels : cosinus d’un angle aigu
Activité à l’ordinateur
Synthèse : Dans un triangle rectangle, le cosinus d’un des 2 angles aigus est le
nombre égal à :
longueur du coté adjacent
.
longueur de l'hypoténuse
A
cos C 
BC
AC
cos A 
AB
AC
C
B
Remarque : le cosinus d’un angle aigu est donc un nombre compris entre 0 et 1.
Cela permet, dans un triangle rectangle, de calculer des longueurs (voir ex1) ou
des mesures d’angles (voir ex2)
Exercice modèle 1
Calculer la longueur AC. Arrondir au mm.
A
Dans le triangle ABC rectangle en B :
43°
5 cm
C
B
Exercice modèle 2
Calculer la mesure de l’angle . Arrondir au degré.
A
Dans le triangle ABC rectangle en B :
8,2 cm
5 cm
B
C
Sur la calculatrice, on tape Arccos (5 : 8,2) =
II.
Sinus et tangente d’un angle aigu
Activité (avec l’ordinateur) :
Soient [Ax) et [Ay) deux demi-droites. B et B’ sont deux points de [Ax) ;
C et C’ deux points de [Ay) tels que (BC) et (B’C’) sont perpendiculaires à [Ax)
C’
y
C
x
A
B
B’
 Une conjecture :
Mesurer, puis calculer les rapports
BC
B'C'
et
AC
AC'
Conjecture : il semble que ces rapports sont égaux.
Mesurer, puis calculer les rapports
BC
B'C'
et
AB
AB'
Conjecture : il semble que ces rapports sont égaux.
 La preuve :
Les droites (Ax) et (Ay) sont sécantes en A
o B et B’ sont deux points de (Ax)
o C et C’ deux points de (Ay)
o (CB) // (C’B’) car elles sont toutes les deux perpendiculaires à (Ax)
Donc d’après le théorème de Thales :
AB AC
BC


AB' AC' B'C'
D’une part :
AC
BC

AC' B'C'
Produits en croix
ACB’C’=BCAC’
BC  AC'
AC
B'C' BC

AC' AC
B'C'=
D’autre part :
Je divise les 2 membres par AC
Je divise les 2 membres par AC’
AB BC

AB' B'C'
Produits en croix
ABB’C’=BCAB’
BC  AB'
AB
B'C' BC

AB' AB
B'C'=
Je divise les 2 membres par AC
Je divise les 2 membres par AC’
Synthèse :
Soient des triangles rectangles ayant le même angle aigu A . Alors les
rapports
coté opposé
coté opposé
et
ne dépendent pas de ces triangles
hypoténuse
coté adjacent
rectangles.
On les appelle respectivement le SINUS et la TANGENTE de l’angle A .
En résumé :
coté opposé BC
=
hypoténuse AC
coté opposé BC
tan A =
=
coté adjacent AB
C
sin A =
A
B
Remarques :
o Le sinus d’un angle aigu est un nombre compris entre 0 et 1
o La tangente d’un angle aigu est un nombre positif (pas forcément < 1)
Application :
1) Calculer AC (arrondir au
mm)
2) Calculer CD (arrondir au
mm)
III. Relations entre sinus, cosinus et tangente
 Montrons que si  est un angle aigu, on a tan  
On a :
sin 
cos 
A
BC
sin  
AC
AB
cos  
AC

BC
tan  
AB
Donc :
BC
sin 
BC AC BC
 AC 


 tan 
cos  AB AC AB AB
AC
tan  
Retenons :
C
B
sin 
cos 
Applications :
1.  est la mesure d’un angle aigu. On donne cos = 0,6 et sin = 0,8.
Calcule tan.
tan=
sin  0,8 4


cos  0, 6 3
2. Calcule sin sachant que
tan  
tan  
sin 
cos 
4
3
cos  
3 et
5.
4 sin 

3
3
5
sin   0,8
 Montrons que sin     cos    1 pour tout angle  aigu
2
sin  
 sin  
BC
AC
cos  
AB
AC
2
2
2
A
2
 BC   AB 
  cos    
 

 AC   AC 
BC2  AC2

B
AC2
2
AC

(th de Pythagore)
AC 2
1
Retenons :

2
sin  
2
  cos    1
2
C
Applications :
2
3
a)  étant la mesure d’ un angle aigu avec cos= , calculer sin puis
tan sans chercher à calculer .
sin  
2
  cos    1
2
2
2
2
    cos    1
 3
4
2
sin    1 
9
5
2
sin   
9
5
sin  
9
Calcul de tan :
5
sin 
5
tan  
 9 
2
cos 
2
3
5
5
b)  étant la mesure d’ un angle aigu avec sin= , calculer cos puis
tan sans chercher à calculer .
On trouve cos=0,6 et tan=
4
3
c) Démontrer la relation 1  tan 2  
1
cos2 
sin 2  cos2   sin 2 
1
 sin  
1  tan 2   1  

1




2
2
cos 
cos 
cos2 
 cos  
2
d) Développer  cos   sin  
 cos   sin  
2
2
 cos2   2 cos  sin   sin2   1  2 cos  sin 