ANGLES ORIENT´ES - TRIGONOM´ETRIE 1 Angles orient´es
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C HAPITRE VII A NGLES ORIENT ÉS - T RIGONOM ÉTRIE 1 Angles orientés 1.1 Repérage d’un point sur le cercle trigonométrique d C + + O I Soit C un cercle trigonométrique et d la droite tangente au cercle en I (appelée droite des réels). A tout nombre réel x, on fait correspondre un point M unique du cercle en enroulant la droite d sur le cercle : dans le sens direct si x ≥ 0 , dans le sens indirect si x < 0. x est une mesure en radians de l’arc de cercle ⌢ orienté IM d’origine I et d’extrémité M 1.2 Angle orienté de deux vecteurs non nuls C − → v Définition 1 → → Soient − u et − v deux vecteurs non-nuls. +N + − → v + O M − → u Il existe un unique couple de points (M; N) du cercle C → − → − −−→ −−→ u v tel que OM = ||− et ON = ||− . Les points M et → → u || v || → → N appartiennent au cercle C . Les deux vecteurs − u et − v → − → − non nuls définissent un angle orienté ( u ; v ) dont un −−→ −−→ représentant est l’angle (OM; ON). → − Une mesure en radians de l’angle orienté (− u;→ v ) est une ⌢ − → u mesure de l’arc orienté MN. −−→ −−→ → − On a (− u;→ v ) = (OM; ON). Propriété 1 → → Si x est une mesure de l’angle orienté des vecteurs non nuls − u et − v alors l’ensemble de ses mesures → − → − est (− u;→ v ) = x + 2kπ où k ∈ Z . On écrit aussi : (− u;→ v ) = x[2π] qui se lit ” x modulo 2π”. Définition 2 On appelle mesure principale l’unique valeur x0 , parmi les réels x + 2kπ, appartenant à l’intervalle ] − π; π]. Exemple : Donner les mesures principales des angles suivants : x1 = 21π 2 et x2 = 5π . 3 1.3 Propriétés des angles orientés → − → − → → On a donc (− u;→ u ) = 0 et (−− u;→ u ) = (− u ; −− u) = π Propriété 2 → → → − Deux vecteurs non-nuls − u et − v sont colinéaires de même sens si, et seulement (− u;→ v ) = 0. → → → − u et − v sont colinéaires de sens contraires si, et seulement (− u;→ v ) = π. Deux vecteurs non-nuls − 1 Propriété 3 Relation de Chasles → → → → − → − → − Pour tous vecteurs non nuls − u, − v et − w on a : (− u;→ v ) + (− v ;→ w) = (− u;→ w) Conséquences : → → Pour tous vecteurs non nuls − u, − v on a : → − → − → → → → • (− v ;→ u ) = −(− u;→ v) • (− u ; −− v ) = (− u;− v)+π −→ → − → − → − → − → − → − → − • (−u; v ) = ( u ; v ) + π • (−u; −v) = ( u ; v ) 2 Trigonométrie 2.1 Cosinus et sinus Définition 3 Soit x un réel quelconque Il lui correspond un unique point M du cercle trigonométrique tel que x soit une mesure en radians −−→ −−→ de (OA, OM) → − → − ➤ Le cosinus de x, noté cos x, est l’abscisse de M dans le repère (O; i ; j ). → − → − ➤ Le sinus de x, noté sin x, est l’ordonnée de M dans le repère (O; i ; j ). M sin x → − j cosx et sinx sont donc respectivement l’abscisse et l’ordonnée du point M dans le → − → − repère (O; i ; j ) On note : M(cos x; sin x) − x → i 0 cos x A Propriété 4 ♦ cos2 x + sin2 x = 1 ♦ −1 6 cos x 6 1 −1 6 sin x 6 1 et ♦ cos(x + 2kπ) = cos x et sin(x + 2kπ) = sin x pour tout k ∈ Z 2.2 Valeurs remarquables 2π 3 π 2 √ 3 √2 2 2 1 2 3π 4 5π 6 −π √ √ − 2−3 22− 21 0 π 3 π 4 π 6 1 2 √ √ 2 3 2 2 − 12 √ 7π 6 4π 3 3π 2 0 11π 6 − √22 − 23 5π 4 On obtient le tableau de valeurs suivant : 7π 4 5π 3 2 α 0 π 6 sin(x) 0 cos(x) 1 1 2 √ 3 2 π 4 √ 2 2 √ 2 2 π 3 √ 3 2 1 2 π 2 π 1 0 0 −1 2.3 Cosinus et sinus d’angles associés Pour tout x ∈ R, x x cos(−x) = sin(−x) = x cos(π − x) = sin(π − x) = cos( π2 − x) = sin( π2 − x) = cos( π2 + x) = sin( π2 + x) = x cos(π + x) = sin(π + x) = 2.4 Fonction sinus et cosinus 2.4.1 Périodicité On déduit des propriétés précédentes que les fonctions x 7→ sin x et x 7→ cos x sont périodiques de période 2π. 2.4.2 Courbes représentatives Les courbes représentatives des fonctions sinus et cosinus s’appellent des sinusoı̈des. Voici en rouge, la courbe représentative de la fonction sinus, en bleu, celle de la fonction cosinus. −2π −π − π 2 1 π 2 −1 π 2π 2.4.3 Dérivées Propriété 5 Les fonctions x 7→ sin(x) et x 7→ cos(x) sont dérivables sur R et on a (sin) ′ (x) = cos(x) et 3 (cos) ′ (x) = − sin(x) . −2π 3 Repérage polaire +M r C − → + O θ −ı → Définition 4 Tout point M du plan distinct de l’origine O peut être repéré par un couple de réels (r; θ) tels que −−→ → OM = r et (− ı , OM) = θ (en radians). −ı ). O est appelé le pôle, (r; θ) est un couple de coordonnées polaires du point M dans le repère (O, → −ı ) l’axe polaire. r le rayon polaire et (O, → Remarques : Un point M étant donné, le couple (r; θ) n’est pas unique car θ est défini modulo 2π . En revanche, à un couple (r; θ) correspond un unique point M. Pour l’origine O, on convient que r = 0 et que θ est quelconque. Propriété 6 −ı ; − → Dans un repère orthonormé direct (O; → ) , si un point M distinct de O a pour coordonnées cartésiennes (x; y) et pour coordonnées polaires (r; θ) , alors : passage des coordonnées cartésiennes aux p coordonnées polaires : r = x2 + y2 x x cosθ = = p r x2 + y2 y y sinθ = = p r x2 + y2 passage des coordonnées polaires aux coordonnées cartésiennes : x = rcosθ y = rsinθ x +M r − → + O θ −ı → 4 y
