x ↦→ sin x x ↦→ cos x −1 −7 −1 −7 f(x + t) = f(x) sin(x + 27) = sin(x

Tale S - Bilan chapitre 5 :
Définition
FONCTIONS TRIGONOMÉTRIQUES
On dit qu’une fonction f est périodique s’il
existe un nombre t > 0 tel que :
Soit (O;~ı,~ ) un repère orthonormé direct.
pour x ∈ R,
Soit x un nombre réel et soit M le point associé au
f ( x + t) = f ( x )
nombre x situé sur le cercle trigonométrique.
Géométriquement :
~
sin x
M (associé à x ∈ R)
C f est invariante par translation de vecteur ~v
b
t
0
!
.
Le plus petit nombre t possible est noté T ;
O
cos x
ce nombre est appellé période de f .
~ı
Propriété
Les fonctions sin et cos sont périodiques, de
−→
x est une mesure en radians de l’angle (~ı, OM).
période 2π :
Dans le repère (O;~ı,~) :
pour tout x ∈ R,
– l’abscisse de M est le cosinus de x.
– l’ordonnée de M est le sinus de x.
sin( x + 2π ) = sin( x)
cos( x + 2π ) = cos( x)
Le théorème de Pythagore devient dans ce cadre :
1 = cos2 x + sin2 x
Conséquence pour tout k ∈ Z :
♥
sin( x + 2kπ ) = sin x
Beaucoup d’autres propriétés ont été vues en 1ère S,
cos( x + 2kπ ) = cos x
nous reviendrons dessus ...
Définition
Définition
Soit f une fonction définie sur un ensemble I
On appelle fonction sinus et fonction cosinus
symétrique par rapport à zéro.
les fonctions définies sur R par :
On dit que f est :
x 7→ sin x
– paire si pour tout x ∈ I,
x 7→ cos x
f (− x) = + f ( x)
– impaire si pour tout x ∈ I, f (− x) = − f ( x)
Elles prennent leurs valeurs dans [−1; 1].
Propriété
Représentations graphiques
Dans un repère orthogonal (O;~ı,~ ),
la courbe d’une fonction :
SINUS
– paire est symétrique par rapport à (Oy)
1
– impaire est symétrique par rapport à O.
O
−π
−π
2
−1
π
2
π
3π
2
2π
Propriété
COSINUS
– La fonction cosinus est paire :
1
pour tout x ∈ R,
O
−π
−π
2
−1
π
2
π
3π
2
Ces deux courbes sont des ≪ sinusoı̈des ≫.
2π
cos(− x) = + cos( x)
– La fonction sinus est impaire :
pour tout x ∈ R,
sin(− x) = − sin( x)
Quelques formules de première ...
~
Théorème
Les fonctions cos et sin sont dérivables sur R et :
M (associé à x ∈ R)
sin x
b
cos′ = ⊖ sin
sin′ = ⊕ cos
cos x
O
~ı
SINUS
1
O
−π
cos(π + x) = − cos x
cos(π − x) = − cos x
sin(π + x) = − sin x
sin(π − x) = + sin x
π
+ x) = − sin x
2
π
sin( + x) = cos x
2
COSINUS
cos(
−π
π
3π
2
2π
π
2
π
3π
2
2π
1
−π
2
−1
Signes et variations sur [0; π ]
Formules d’addition
cos( a − b) = cos a cos b + sin a sin b
−1
π
2
O
π
− x) = sin x
2
π
sin( − x) = cos x
2
cos(
−π
2
x
♥
cos x = (sin x)′
cos( a + b) = cos a cos b − sin a sin b
π
2
0
+
0
sin( a + b) = sin a cos b + cos a sin b
sin( a − b) = sin a cos b − cos a sin b
π
−
1
sin x
♥
0
0
Formules de duplication
x
0
= 2 cos2 a − 1
sin x
0
= 1 − 2 sin2 a
− sin x = (cos x)′
cos(2a) = cos2 a − sin2 a
π
2
π
+
+
−
−
0
1
sin(2a) = 2 sin a cos a
0
sin x
−1
Formules de linéarisation
1 + cos(2a)
1 − cos(2a)
cos2 a =
sin2 a =
2
2
En utilisant les propriétés de ces fonctions (parité,
périodicité), on obtient leurs variations sur R.
Propriété
sin x
=1
x
lim
x →0
Un peu de physique ...
Un signal sinusoidal est un signal dont l’amplitude
(observée à un endroit précis) est du type :
−sin 0
= sin xx−
,
0
cette limite est le coefficient directeur de la tangente à la courbe de la fonction sinus au point
d’abscisse 0. Ci-dessous, on voit que cette tangente
passe par le point P de coordonnées (1; 1).
Remarque :
Comme
1
sin x
x
P
f (t) = A cos(ωt + ϕ)
Un tel signal est caractérisé par :
– son amplitude maximale : A.
−π
2
−1
2π
ω
– sa pulsation ω : période T =
– son déphasage initial ϕ.
fréquence f =
Un tel signal peut correspondre à :
– une pression
son.
b
O
−π
(t = temps)
π
2
π
3π
2
2π
– un déplacement de matière
– un déplacement d’électrons
corde vibrante.
courant électrique.
– une onde électromagnétique ...
1
T.