Chapitre 4 Le cercle trigonométrique Première S 2 Soit une droite

Chapitre 4
Le cercle trigonométrique
Première S
I. Définition du cercle trigonométrique
Un cercle trigonométrique est un cercle de rayon 1
sur lequel on distingue deux sens de parcours :
le sens direct (sens inverse des aiguilles d'une montre)
et le sens indirect (sens des aiguilles d'une montre).
Le rayon étant de 1 (une unité), la longueur du cercle est 2 π ,
celle du demi-cercle est π , celle du quart de cercle est
π
2
!
II. Enroulement de la droite des réels sur le cercle trigonométrique
Soit une droite graduée d’origine A comme sur les figures ci-dessous.
Imaginons que nous enroulions la droite autour du cercle. On associe alors à chaque abscisse
d'un point de la droite, un point du cercle :
A retenir !
A tout réel x, on peut associer un point M sur le cercle de la façon suivante :
* Si x > 0, on parcourt la distance x sur le cercle en partant du point I dans le sens direct.
* Si x < 0, on parcourt la distance x sur le cercle en partant du point I dans le sens indirect.
» est alors égal à |x|.
La longueur de l’arc IM
II. Angles en radians
Définition :
Soient A et M deux points du cercle trigonométrique de centre O.
La mesure en radians de l’angle ·
AOM correspond à la longueur de l’arc ¼
AM .
Correspondance entre angles en degrés et angles en radians :
Angles en degrés
Angles en radians
360
180
90
60
45
30
J
Exercice :
Placer les points suivants sur le cercle en fonction de l’angle
en radian qui leur est associé en partant de I :
A (π )
 -π 
E 6 
 
 π 
B  12 


2π


F 3 


π
C3
 
π
G2
 
 3π 
D 4 


-3π


H 2 


O
I
Mesure principale d’un angle en radians :
Activité :
Placer les points ci-dessous en fonction de l’angle en radian qui
leur est associé en partant de I :
π 

3
B 
 8π 

 3 
 5π 

 3 
D 
A 
 13π 

 3 
C −
 11π 
E−

 3 
On remarque que plusieurs mesures d’angles définissent un même point sur le cercle.
(On retrouve le fait qu’il y a enroulement de la droite des réels autour du cercle trigonométrique)
On appelle alors mesure principale d’un angle l’unique mesure appartenant à l’intervalle ]−π ; π ] .
Exercice : Trouver la mesure principale des angles suivants :
Si α =
21π
2
Si α =
13π
3
Si α = −
13π
2
Si α = −
III. Trigonométrie
114π
3
J
+
On munit le cercle trigonométrique d’un repère orthonormé (O ; I ; J).
·
Soit x la mesure en radian d’un angle, et M le point tel que IOM
= x.
Dans le triangle rectangle OAM, on a :
OA
cos x =
OM
cos x =
OA
1
De même :
MA
sin x =
OM
sin x =
M
B
O
x
A
I
MA
1
cos x = OA
sin x = MA = OB
donc cos x est l’abscisse de M.
donc sin x est l’ordonnée de M.
Conclusion : Si M est le point associé a un réel x sur le cercle trigonométrique, alors M(cos x ; sin x).
Remarques importantes:
1) Pour tout x, on a -1 ≤ cos x ≤ 1 et -1 ≤ sin x ≤ 1
2) Dans le triangle OAM rectangle en A on a OM = 1, OA = cos x et AM = sin x, alors d’après le théorème de
Pythagore OA² + AM² = OM² et donc : cos²x+ sin²x = 1
Exercice :
π
On a donné les valeurs exactes du sinus et cosinus de quelques angles remarquables entre 0 et .
2
Point
I
A
B
C
J
5π
3π
2π
π
π
π
π
π
π
π
π
2π
3π
x
0
6
4
3
2
6
4
3
2
3
4
6
3
4
1
3
2
cos x
1
0
2
2
2
1
2
3
sin x
0
1
2
2
2
5π
6
J
a. Retrouver le point qui correspond à chaque angle.
H
C
D
b. En déduire les valeurs exactes des cosinus
et sinus de tous les angles du tableau.
B
K
A
π
6
π
4
π
3
I’
I
O
E
M
L
Propriétés du sinus et du cosinus :
G
F
N
J’
Définition de la tangente : ∀α ∈ ¡ , si cos(α ) ≠ 0 alors tan(α ) =
Démonstration :
sin(α )
cos(α )
π
Relation trigonométrique et angles associés :
Activité :
On obtient donc les formules suivantes :
cos ( 2π + α ) =
sin ( 2π + α ) =
cos (π + α ) =
sin (π + α ) =
cos ( −α ) =
cos (π − α ) =
π

cos  + α  =
2

π

cos  − α  =
2

sin ( −α ) =
sin (π − α ) =
π

sin  + α  =
2

π

sin  − α  =
2

Les équations trigonométriques :
Equation du type cos ( x ) = cos ( a ) avec a réel donné
Equation du type sin ( x ) = sin ( a ) avec a réel donné