Les racines carrées (cours)

Pré requis : dft du carré d’un nombre, arrondi, troncature, Pythagore,
RACINES CARREES
I Introduction :
Dans quel chapitre a-t-on vu les racines carrés ? dans Pythagore
L’aire est c × c = 7 × 7 = 49 cm².
1) Quelle est l’aire d’un carré dont la longueur du côté est 7 cm ?
2) Quelle est la longueur du côté d’un carré dont l’aire est 9 m² ? La longueur du côté est 3 m car 3 × 3 = 9.
3) Quelle est la longueur du côté d’un carré dont l’aire est 2 dm² ?
Pour l’instant on ne peut pas répondre.
Les laisser chercher 1² ; 2² ; 1,1²…… Peut-on construire un tel carré ?
4) Objectif : construire un carré dont l’aire est 2 dm² .
a) Construis deux carrés dont la longueur d’un côté est 1 dm.
b) Partage ces deux carrés, puis les coller, de telle manière à obtenir un carré dont l’aire vaut 2 dm².
5) a) On note c la longueur en dm d’un côté du carré construit. On a : c > 0 et c² = 2.
b) Que vaut c ? Les laisser chercher 1² = 1 et 2² = 4 donc 1 < c < 2
1,4²=1,96 et 1,5²=2,25 donc 1,4 < c < 1,5
1,41²=1,9881 et 1,42 = 2,0164 donc 1,41 < c < 1,42……
c) Le nombre c est-il un entier ? Non
Oralement (pour information)
Si le dernier chiffre de l’écriture
1
décimale de x est :
Alors le dernier chiffre de
1
l’écriture décimale de x² est :
2
3
4
5
6
7
8
9
4
9
6
5
6
9
4
1
Donc c n’est pas un nombre décimal non entier car le dernier chiffre de l’écriture décimale de c² n’est pas 1 ; 4 ; 5 ou 9.
On admettra que la longueur de côté de ce carré (c) ne peut pas s’écrire sous la forme d’une fraction et on le prouvera en
exercice.
On note c = 2 .
Comment peut-on définir 2 ? C’est le nombre supérieur à zéro dont le carré est 2.
Remarque : 2 est un nombre irrationnel (à prouver en exo)
Exemples :
La racine carrée de 100 est le nombre positif dont le carré est 100 c’est à dire 100 =10.
La racine carrée de 81 est le nombre positif dont le carré est 81 c’est à dire 81 =9.
La racine carrée de 5 est le nombre positif dont le carré est 5 c’est à dire 5 .
II La racine carrée :
1) Définition :
Soit a un nombre positif, la racine carré de a est le nombre positif dont le carré est a.
La racine carré de a se note a .
2) Remarques :
( a )² = a
;
a² =a avec a un nombre positif.
3) Exemples :
0 = 0 ; 4 = 2 ; 9 = 3 ; 16 = 4 ; 64 = 8.
4) Tableau des carrés parfaits : A ABSOLUMENT ECRIRE
x
x²
1
1
2
4
3
9
4
16
5
25
6
36
III Propriétés :
1) Racine carrée et multiplication :
Activité :
Sans la calculatrice : * calcule 9×4 , puis calcule 9 × 4 .
9×4 = 36 =6 et 9 × 4 =3×2 = 6
7
49
8
64
* calcule
9
81
10
100
a
a
49×4 , puis calcule 49 × 4 .
49×4 = 196 =14 et 49 × 4 =7× 2 =14
Propriété n°1 :
Soient a et b deux nombres positifs on a :
on constate qu’il y a égalité.
a×b = a × b .
La racine carrée d’un produit est égale au produit des racines carrées.
Exercices types.
- Effectue les différents calculs et donne les résultats sous la forme la plus simple possible.
8 × 2 =4
10 × 1000 = 100
-
« écrire sous la forme a b « Relie les écritures d’un même nombre.
8 =2 2
car … 8 =
-
3 × 12 = 6
2 × 50 = 10
2,5 × 10 =5
0,81 × 100 = 9
0,4 × 0,9 = 0,6
0,1 × 2,5 = 0,5
12 = 2 3
18 =3 2
27 = 3 3
4 × 2 = 4 × 2 = 2 × 2 =2 2 ……
32 = 4 2
48 = 4 3
« écrire sous la forme a b « Réduis A sous la forme a 2 et B sous la forme a 3
Ecrire une expression sous la forme a b :
COIN
Bien lire l’énoncé qui donne parfois l’indication du nombre b recherché.
à l’aide d’un carré parfait : 4 − 9 − 16 − 25
Décomposer le nombre situé sous chaque
− 36 − …… −100
Casser la
ère
× b
c’est à dire
:
×
c’est à dire
en mettant le carré en 1er
b
se simplifie et disparaît en laissant la 2ème
La 1
Ne pas oublier de multiplier les nombres devant la
METHODE Compter le nombre total de
b recherchée
b :3×2×
=6
b
A = 8 + 2 − 3 32 = 2 2 + 2 − 3× 16 × 2 = 2 2 +1 2 −12 2 = −9 2
B = 2 48 − 3 27 + 300 = 2× 4 3 -3× 3 3 +10 3 = 8 3 −9 3 +10 3 = 9 3
-
Calcule mentalement.
25×36 =5×6 =30
100×49 =70
0,01×16 =0,4
2) Racine carrée et division :
Activité :
100
Sans la calculatrice : *calcule
, puis calcule
4
2²×3²×5².=30
100
10
36
= =5 *calcule
, puis calcule
2
4
9
Propriété n°2 :
Soient a et b deux nombres positifs avec b ≠ 0 on a :
a
a
=
.
b
b
Exercices types :
- Calcule mentalement.
25 5
=
36 6
27
=3
3
-
1 1
=
49 7
28
=2
7
Transformation d’écriture
100 10
=
81 9
125
=5
5
0,04 0,2
2
1
=
=
=
9
3
30 15
0,9
6,4
= 0,3
=8
10
0,1.
36 6
= =2
9 3
4
2
7
7
=
=
3
25
5
3
3
1
3
1
3
1 3
5
3
5
3
5
3+ 5
Calculer +
= +
= +
= +
= +
= +
=
5
5
5 5
25
5
5
5
5
5 5
25 5
1
5
1
2
Au passage on fera remarquer que
=
et donc
=
5
2
5
2
Simplifier
IV Résolution de l’équation x² = a où a est un nombre positif :
1) Cas où a =0 :
Résous l’équation x² = 0. C’est chercher toutes les valeurs de x pour que x² =0.
0 est la solution de l’équation x² =0.
Propriété : L’équation x² = 0 admet une solution et une seule 0.
2) Cas où a >0 :
Résous l’équation x² = 9
On cherche par tâtonnement, il trouve 3 , on leur demande une autre solution
Propriété : L’équation x² = a où a > 0 admet deux solutions − a et a
3) Exercices types :
COIN
La résolution d’une équation : x² = a :
Faire apparaître le x² seul de son côté
Les solutions sont x =
METHODE
a
ou x = −
a
Donner le résultat exact si possible ou simplifier la
Résous les équations suivantes :
x² =3
x² =81
x² = 18
et
2x² = 50
x = 3 ou − 3 ; x = 81 = 9 ou − 81 = − 9 ; x = 18 = 3 2 ou − 18 = − 3 2
x² = 50 : 2 = 25 et x = 5 ou x = −5