TD numéro 2
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Algèbre 2
LM 372
Université Pierre et Marie Curie
Jeudi 30 Janvier 2014
TD numéro 2
Exercice 1.
Soit A un anneau commutatif. Montrer que l’ensemble N (A) des éléments nilpotents
de A est un idéal. Déterminer N (Z/72Z).
Exercice 2.
Soient a, b et c trois idéaux d’un anneau commutatif A. Montrer que si a est contenu
dans b ∪ c, alors on a a ⊆ b ou a ⊆ c.
Exercice 3.
Soit R un anneau fini commutatif réduit, i.e. sans nilpotents non nuls.
1. Soit p un idéal minimal non nul de R. Montrer que p est principal. (Indication : montrer que si
x ∈ p est non nul, alors p = xR.)
2. Montrer que si un idéal a de R ne contient pas p alors on a l’identité a ∩ p = 0.
3. Montrer qu’il existe un élément e ∈ p tel que ex = x pour tout x ∈ p.
4. Montrer que p muni des opérations de somme et de produit définies sur R est un corps ayant e
comme élément neutre pour le produit.
5. Montrer qu’il existe un homomorphisme canonique R → p. (Indication : considérer la multiplication par e.)
6. Soient p1 , . . . , pn les idéaux minimaux non nuls de R et indiquons par e1 , . . . , en leurs éléments
neutres respectifs. Montrer que e1 + . . . + en = 1.
7. En déduire qu’il existe un isomorphisme canonique entre R et p1 × · · · × pn . En résumé tout
anneau fini sans nilpotents est un produit de corps.
Exercice 4.
Etant donnés deux idéaux a et b d’un anneau A, on pose
a + b = {a + b|a ∈ a, b ∈ b} et ab = {a1 b1 + · · · + an bn |n ∈ N, a1 , . . . , an ∈ a, b1 , . . . , bn ∈ b}.
1. Montrer que les sous ensembles ab, a ∩ b et a + b sont des idéaux de A.
2. Montrer que a ∩ b est le plus grand idéal de A contenu dans a et dans b et que a + b est le plus
petit idéal contenant a et b.
3. Montrer que l’on a l’inclusion ab ⊆ a ∩ b, et que c’est une égalité si a + b = A.
4. Montrer que A/a ∩ b est isomorphe à A/a × A/b si et seulement si a + b = A.
5. Montrer que si a et b sont premiers entre eux (i.e. si a + b = A) alors il en est de même pour les
idéaux an et bm pour tout couple d’entiers n, m > 0.
6. Soient n > 1 un entier et a, b deux idéaux d’un anneau A. On suppose que a et b sont premiers
entre eux. Montrer que si l’intersection a ∩ b est une puissance n-ième d’un idéal, alors il en est
de même pour a et b.
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Exercice 5.
Soit A un anneau. Montrer que les conditions suivantes sont équivalentes :
1. A est un corps.
2. A[X] est principal.
Exercice 6.
Soit A un anneau. Une application f : A → A est polynomiale s’il existe un
polynôme g ∈ A[X] tel que f (x) = g(x) pour tout x ∈ A. Montrer que les conditions suivantes sont
équivalentes :
1. A est un corps fini.
2. Toute application f : A → A est polynomiale.
Exercice 7.
Soit A un anneau.
1. Montrer qu’un idéal a de A est premier (resp. maximal) si et seulement si le quotient A/a est
intègre (resp. un corps). En déduire que tout idéal maximal est premier.
2. Soit f : A → B un homomorphisme d’anneaux. Montrer que si b est un idéal premier de B,
alors l’image réciproque a = f −1 (n) est un idéal premier de A. Si Spec(A) désigne l’ensemble
des idéaux premiers de A (un tel ensemble est appelé spectre premier de A), on obtient donc
une application f ∗ : Spec(B) → Spec(A). Montrer que si f est surjective, alors f ∗ est injective.
Exercice 8.
Soit A un anneau commutatif (unitaire). Posons
c(A) = {n ∈ Z|na = 0, ∀a ∈ A}.
1. Montrer que c(A) est un idéal de Z. L’unique générateur car(A) ≥ 0 de c(A) est la caractéristique de A.
2. Montrer que si A est intègre, alors c(A) est un idéal premier. Que peut-on alors dire de car(A) ?
Soit A un anneau et indiquons pas A× le groupe de ses éléments inversibles. On
dit que A est local s’il possède un unique idéal maximal. Montrer que les conditions suivantes sont
équivalentes :
Exercice 9.
1. L’anneau A est local.
2. L’ensemble A \ A× des éléments non inversibles est un sous-groupe de A.
3. L’ensemble m ci-dessus est un idéal de A.
Exercice 10. On note A = Z[i] l’anneau des entiers de Gauss. On définit la norme d’un élément
x = a + ib ∈ A par la relation N (x) = a2 + b2 . Montrer que A est euclidien par rapport à la norme :
étant données x, y ∈ A avec x 6= 0, il existe q, r ∈ A avec N (r) < N (x) vérifiant l’identité
y = qx + r.
En déduire que A est principal.
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