A−B - Gymnase Auguste Piccard

u
c
a
4
−
2
√
u = Gymnase deb Morges
a
g
o
l
±
a
b
2
a
b}
−
<
x
=
2)
≤
,2
1
B
x
|a
+
R
B
∈
A
x
{
2 +
Formulaire
de
mathématiques
=
0
a
A
[
(
b Ecole de Culture)générale
+
,
x
B
[a
1
a
Ecole−
de Maturité
+
+ b 1x
.
(A
.
.
3 =
+
.
+
1
.
−
B
.
n
)
3 −
1
+
x
B
−
1
m
A
∩
−
a n 1x
A
(
)
n +
P
B
−
(
m
b
x
P
β
n
+
a m
=
s
o
)
c
x
B
a =
|
il m∞ b m
A
(
→
c
x
=
P
α
n
i
s
www. formulairemath.c.la
Ensembles
Ensembles de nombres
N
Z
Q
R
N∗
R+
Q−
= {0; 1; 2; . . .}
entiers naturels
= {. . . ; −2; −1; 0; 1; 2; . . .}
entiers relatifs
=
=
x∈
R
x=
m
n
Z
avec m ∈ , n ∈
N, n 6= 0
nombres rationnels
√
. . . ; − 32 ; . . . ; 2; . . . ; π; . . . ; 8; . . .
nombres réels
N | n 6= 0} , de même Z∗, R∗, Q∗
{ x ∈ R | x ≥ 0} , de même Z+ , Q+
{ x ∈ Q | x ≤ 0} , de même Z− , R−
= {n ∈
=
=
Intervalles dans l’ensemble des nombres réels pour a < b
R | a < x < b}
{ x ∈ R | a < x ≤ b}
{ x ∈ R | a < x}
{ x ∈ R | x < a}
R | a ≤ x ≤ b}
{ x ∈ R | a ≤ x < b}
{ x ∈ R | a ≤ x}
{ x ∈ R | x ≤ a}
]a; b[
= {x ∈
[a; b]
= {x ∈
]a; b]
=
[a; b[
=
]a; +∞[ =
]−∞; a[ =
[a; +∞[ =
]−∞; a] =
Opérations
Intersection
A ∩ B = { x | x ∈ A et x ∈ B}
A
A
Réunion
A ∪ B = {x | x ∈ A ou x ∈ B}
B
Différence
B = { x | x ∈ A et x ∈
/ B}
A
B
A
Complémentaire
∁E A = A = { x | x ∈ E et x ∈
/ A}
E
B
A
3
Combinatoire
⋄ Nombre d’arrangements simples
Ank = n · (n − 1) · . . . · (n − k + 1) =
n!
(n − k)!
(Nombre de mots de k lettres distinctes prises dans un alphabet de n lettres, n ∈
N∗ et k ≤ n)
⋄ Nombre d’arrangements avec répétition
Ank = n · n · . . . · n = nk
(Nombre de mots de k lettres non nécessairement distinctes prises dans un alphabet de n lettres)
⋄ Nombre de permutations simples de n éléments
Pn = n · (n − 1) · . . . · 2 · 1 = n!
(Nombre d’anagrammes d’un mot de n lettres distinctes)
⋄ Nombre de permutations de n éléments avec répétitions
n!
Pn (n1 , n2 , . . . , nk ) =
n1 ! · n2 ! · . . . · nk !
(Nombre d’anagrammes d’un mot de n lettres dont n1 , n2 , . . . , nk se répètent)
⋄ Nombre de combinaisons simples
n!
n · (n − 1) · . . . · (n − k + 1)
n
n
=
=
Ck =
k!
(n − k)! k!
k
(Nombre de sous-ensembles à k éléments d’un ensemble à n éléments, n ∈
N∗ et k ≤ n)
⋄ Binôme de Newton
Soit n ∈ ∗
n n
n n−k k
n n−2 2
n n−1
n n
n
b
a b + ...+
a b + ...+
a b+
a +
(a + b) =
n
k
2
1
0
N
⋄ Triangle de Pascal
0
1
2
3
4
5
6
7
8
...
n
k
1
1
1
1
1
1
1
1
1
...
0
1
2
3
4
5
6
7
8
...
1
1
3
6
10
15
21
28
...
2
1
4
10
20
35
56
...
3
1
5
15
35
70
...
4
1
6
21
56
...
5
1
7
28
...
6
4
1
8
...
7
1
...
8
...
...
Probabilités
⋄ Fonction de probabilité
Soient A et B des événements contenus dans un univers U et P une fonction de probabilité.
0 ≤ P (A) ≤ 1
P (U) = 1
P (A) = 1 − P (A)
P (A
A⊂B
B) = P (A) − P (A ∩ B)
P (∅) = 0
⇒ P (A) ≤ P (B)
P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B)
⋄ Equiprobabilité
Si les événements élémentaires sont équiprobables et si A et U comportent
respectivement p et m éléments, alors :
P (A) =
p
nombre de cas favorables
=
m
nombre de cas possibles
⋄ Probabilité conditionnelle
P (A ∩ B)
P (B) 6= 0
P (A|B) =
P (B)
⋄ Evénements indépendants
A et B indépendants ⇔ P (A ∩ B) = P (A) · P (B)
⇔ P (A|B) = P (A)
⋄ Evénements incompatibles
Deux événements A et B sont dits incompatibles si A ∩ B = ∅.
A ∩ B = ∅ ⇒ P (A ∪ B) = P (A) + P (B)
⋄ Processus binomial (épreuve de Bernoulli)
A
p
1–p
Probabilité d’obtenir exactement k fois A en
n épreuves indépendantes :
Ckn · pk · (1 − p)n−k =
A
5
n!
· pk · (1 − p)n−k
k!(n − k)!
Calcul algébrique
Identités remarquables
(A + B)2 = A2 + 2AB + B 2
2
2
3
3
(A − B) = A − 2AB + B
A2 − B 2 = (A + B)(A − B)
2
2
2
(A + B) = A + 3A B + 3AB + B
A3 + B 3 = (A + B)(A2 − AB + B 2 )
3
A3 − B 3 = (A − B)(A2 + AB + B 2 )
(A − B)3 = A3 − 3A2 B + 3AB 2 − B 3
Exponentielles et logarithmes
Puissances
a, b ∈
R∗+
r, s ∈
R
Racines
a, b ∈
R∗+
p∈
Z
m, n ∈
N∗
Logarithmes
a, b, u, v ∈
R∗+
a, b 6= 1 x, r ∈
R
ax = u ⇔ x = loga (u)
r s
aa
loga (ax ) = x
r+s
= a
√
n
1
r s
(a )
an =
rs
= a
ar br = (ab)r
a r
ar
=
br
b
0
a = 1
1
a−r = r
a
ar
= ar−s
as
p
an
√
n
ab
r
a
n
b
p
√
n m
a
√
p
( n a)
√
n
ap
√
√
n
anb
√
n
a
√
n
b
p√
√
nm
a= m na
√
√
n
ap = mn amp
=
=
=
=
=
Nombre d’Euler e
aloga (u) = u
a
loga (1) = 0
loga (a) = 1
loga (u · v)
1
loga
u
u
loga
v
loga (ur )
k=1
n
X
k=1
= loga (u) − loga (v)
= r loga (u)
logb (u)
ln(u)
loga (u) =
=
logb (a)
ln(a)
10x = u ⇔ x = log10 (u) = log(u)
ex = u ⇔ x = loge (u) = ln(u)
Quelques sommes
k=1
n
X
= − loga (u)
Logarithmes particuliers
e∼
= 2, 7182818 . . .
n
X
= loga (u) + loga (v)
k = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 +...+ n =
k 2 = 1 + 4 + 9 + 16 + . . . + n2
k 3 = 1 + 8 + 27 + 64 + . . . + n3
n(n + 1)
2
n(n + 1)(2n + 1)
6
2
n(n + 1)
=
2
=
6
Equations et polynômes
⋄ Degré 2
Equations du deuxième degré :
√
∆
−b
±
Si ∆ = b2 − 4ac > 0, l’équation ax2 + bx + c = 0 admet deux solutions x1,2 =
2a
−b
Si ∆ = b2 − 4ac = 0, l’équation ax2 + bx + c = 0 admet une solution x1 =
2a
2
2
Si ∆ = b − 4ac < 0, l’équation ax + bx + c = 0 n’a aucune solution dans les réels
Factorisation du trinôme du deuxième degré :
Si ∆ > 0 : ax2 + bx + c = a(x − x1 )(x − x2 )
Si ∆ = 0 : ax2 + bx + c = a(x − x1 )2
Si ∆ < 0 : le trinôme ne se factorise pas
2
b
b2 − 4ac
P (x) = ax + bx + c = a x +
−
2a
4a
2
Signe du trinôme du deuxième degré : P (x) = ax2 + bx + c
P (x) a le signe de a sauf entre les zéros éventuels
⋄ Degré n
Soit P (x) = an xn + an−1 xn−1 + . . . + a1 x + a0
(ai ∈
Z et an 6= 0)
Pour résoudre l’équation P (x) = 0, on utilise les propriétés suivantes :
• les zéros entiers de P (x) sont à chercher parmi les diviseurs de a0
• P (x) est divisible par (x − a) ⇔ P (a) = 0
Théorème du reste
Le reste de la division de P (x) par (x − a) est égal à P (a)
7
Analyse
Parité
⋄ Fonction paire
Une fonction f est dite paire si f (−x) = f (x) pour tout x ∈ ED(f )
La représentation graphique de f est alors symétrique par rapport à l’axe des y.
⋄ Fonction impaire
Une fonction f est dite impaire si f (−x) = −f (x) pour tout x ∈ ED(f )
La représentation graphique de f est alors symétrique par rapport à l’origine.
Limites
⋄ Limites de fonctions rationnelles
Il y a trois cas :
f (a)
f (x)
=
1. Si g(a) 6= 0, alors lim
x→a g(x)
g(a)
f (x)
2. Si g(a) = 0 et f (a) 6= 0, alors lim
= “∞”
x→a g(x)
3. Si g(a) = f (a) = 0, on se ramène à l’un des deux cas précédents en
simplifiant par x − a
⋄ Limites à l’infini de fonctions rationnelles

0
si n < m


 a
an xn + an−1 xn−1 + . . . + a1 x + a0
an xn
n
si n = m
lim
= lim
=
b
x→±∞ bm xm + bm−1 xm−1 + . . . + b1 x + b0
x→±∞ bm xm

m


“∞” si n > m
⋄ Limites de fonctions exponentielles et logarithmiques
lim ex = 0
x→−∞
lim ex = +∞
x→+∞
lim
ln(x) = −∞
x→0
lim ln(x) = +∞
x→+∞
>
si k > 0 :
ex
= +∞
lim
x→+∞ xk
lim |x|k ex = 0
x→−∞
lim
x→+∞
ex − 1
=1
x→0
x
ln(x)
=0
xk
ln(1 + x)
=1
x→0
x
lim
lim
8
lim
xk ln(x) = 0
x→0
>
Asymptotes
⋄ Asymptote verticale
La droite d’équation x = a est asymptote verticale
f (x) = “∞”
f (x) = “∞” ou lim
⇔ lim
x→a
x→a
<
>
⋄ Asymptote horizontale
La droite d’équation y = b est asymptote horizontale à droite
⇔ lim f (x) = b
x→+∞
De même à gauche (x → −∞)
⋄ Asymptote oblique
La droite d’équation y = mx + h est asymptote oblique à droite si f (x) = mx + h + δ(x)
où lim δ(x) = 0.
x→+∞
f (x)
=m
x→+∞ x
lim
lim (f (x) − mx) = h
et
x→+∞
De même à gauche (x → −∞)
⋄ Asymptote dans le cas des fonctions rationnelles
Soit n le degré du numérateur, m le degré du dénominateur.
On distingue les cas :
si n 6 m
asymptote horizontale
si n = m + 1 asymptote oblique
Remarque : le quotient de la division euclidienne du numérateur par son dénominateur
permet de déterminer l’éventuelle asymptote oblique.
Plan d’étude d’une fonction
1. ED(f )
2. Parité éventuelle
3. Zéros et signe de f
4. Asymptotes
5. Dérivée
6. Zéros et signe de f ′ , croissance et extremums
7. Graphe de f
9
Dérivées
⋄ Dérivée d’une fonction en un point a de ED(f )
f (a + h) − f (a)
f (x) − f (a)
= lim
existe, on la note f ′ (a)
x→a
h→0
x−a
h
Si lim
⋄ Equation de la tangente au graphe de f en (a; f (a))
y − f (a) = f ′ (a)(x − a)
f ′ (a) est la pente de cette tangente
⋄ Propriétés
f et g sont des fonctions dérivables, n ∈
′
′
(f + g) = f + g
′
Q, k ∈ R
′
(k · f ) = k · f
(f ◦ g)′ = (f ′ ◦ g) · g ′
′
′
(g n )′ = n · g n−1 · g ′
′
(f · g) = f · g + f · g
′
−g ′
1
= 2
g
g
′
⋄ Croissance d’une fonction dérivable
f ′ (x) > 0 pour tout x ∈]a; b[
⇒ f est strictement croissante sur ]a; b[
f ′ (x) < 0 pour tout x ∈]a; b[
⇒ f est strictement décroissante sur ]a; b[
′
f (x) = 0 pour tout x ∈]a; b[
⇒ f est constante sur ]a; b[
⋄ Quelques dérivées
k ∈ ,a > 0
R
f (x)
f ′ (x)
f (x)
f ′ (x)
k
0
ax
ln(a) · ax
x
1
loga (x)
1
1
·
ln(a) x
xk
kxk−1
sin(x)
cos(x)
1
x
−1
x2
cos(x)
− sin(x)
√
1
√
2 x
tan(x)
ex
ex
eg(x)
eg(x) · g ′ (x)
ln(x)
1
x
ln(g(x))
g ′ (x)
g(x)
x
1 + tan2 (x) =
10
1
cos2 (x)
′
f
f ′ · g − f · g′
=
g
g2
g′
√
( g)′ = √
2 g
Intégrales
⋄ Primitive d’une fonction f sur un intervalle I
F est une primitive de f sur I ⇔ F ′ (x) = f (x) pour tout x ∈ I. Les autres primitives de f
sur I sont F + c où c est constante.
⋄ Quelques primitives
F est une primitive de f .
f onction
primitive
f onction
primitive
f (g(x)) · g ′ (x)
F (g(x))
f (ax + b)
1
F (ax + b)
a
ln |x|
g ′ (x)
g(x)
ln |g(x)|
ex
ex
eg(x) · g ′ (x)
eg(x)
ln(x)
x · ln(x) − x
g n (x) · g ′ (x)
g n+1 (x)
n+1
k
kx
xk
1
· xk+1
k+1
1
x
⋄ Intégrale de f entre a et b
Z b
f (x)dx = F (b) − F (a)
k 6= −1
où F est l’une des primitives de f sur [a; b]
a
⋄ Propriétés
Z b
Z c
Z c
f (x)dx +
f (x)dx =
f (x)dx
bZ
a
Za b
a
f (x)dx = −
f (x)dx
a
b
Z b
Z b
Z b
[f (x) + g(x)]dx =
f (x)dx +
g(x)dx
a
Za b
Z b a
kf (x)dx = k
f (x)dx
a
a
Z b
Z b
Si f (x) ≤ g(x) pour tout x ∈ [a; b], alors
f (x)dx ≤
g(x)dx
a
a
⋄ Applications
Aire algébrique du domaine bornéZ limité par le graphe de f et les droites
b
d’équation y = 0, x = a et x = b :
f (x)dx
a
Volume du solide engendré par la révolution (autour de la droite d’équation
y = 0) du domaine limité par le graphe de f et les droites d’équation y = 0,
Z b
x = a et x = b : π
f 2 (x)dx
a
11
n 6= −1
Pour vos annotations
12
Pour vos annotations
13
Trigonométrie
Conversion des mesures d’angle
Soit r la mesure d’un angle en radians et d la mesure de cet angle en degrés.
⋄ Conversion de degrés en radians
π
d
r=
180
Conversion de radians en degrés
180
r
d=
π
Triangle rectangle
⋄ Sinus, cosinus, tangente
a
sin(α) =
= cos(β)
c
b
= sin(β)
cos(α) =
c
a
tan(α) =
b
β
c
a
α
b
Triangle quelconque
α, β, γ sont les angles d’un triangle ABC, a, b, c les
côtés opposés aux sommets A, B et C, r le rayon du
cercle circonscrit, hA la hauteur issue de A.
⋄ Théorèmes
a2 = b2 + c2 − 2bc cos(α)
théorème du cosinus
b2 = a2 + c2 − 2ac cos(β)
c2 = a2 + b2 − 2ab cos(γ)
a
b
c
=
=
= 2r
théorème du sinus
sin(α)
sin(β)
sin(γ)
1
1
1
1
ahA = ab sin(γ) = ac sin(β) = bc sin(α) aire du triangle
2
2
2
2
Valeurs exactes des fonctions trigonométriques de quelques arcs
x radians
0
π
6
π
4
π
3
π
2
x degrés
0˚
30˚
0
60˚
√
3
2
90˚
sin(x)
cos(x)
1
45˚
√
2
2
√
2
2
tan(x)
0
1
2
√
3
2
√
3
3
1
1
1
2
0
√
—
14
3
Relations trigonométriques
⋄ Relations entre les fonctions trigonométriques d’un même arc
cos2 (α) + sin2 (α) = 1
tan(α) =
sin(α)
cos(α)
1 + tan2 (α) =
1
cos2 (α)
⋄ Relations entre les fonctions trigonométriques de certains arcs
sin(−α) = − sin(α)
cos(−α) = cos(α)
sin(π + α) = − sin(α)
π
− α = cos(α)
sin
2
π
+ α = cos(α)
sin
2
sin(α + 2π) = sin(α)
cos(π + α) = − cos(α)
π
− α = sin(α)
cos
2
π
+ α = − sin(α)
cos
2
cos(α + 2π) = cos(α)
sin(π − α) = sin(α)
cos(π − α) = − cos(α)
⋄ Somme de deux arcs, différence de deux arcs
sin(α + β) = sin(α) · cos(β) + cos(α) · sin(β)
cos(α + β) = cos(α) · cos(β) − sin(α) · sin(β)
tan(α) + tan(β)
tan(α + β) =
1 − tan(α) · tan(β)
⋄ Arc double et demi-arc
tan(π − α) = − tan(α)
tan(π + α) = tan(α)
π
1
−α =
tan
2
tan(α)
π
1
+α =−
tan
2
tan(α)
tan(α + π) = tan(α)
sin(α − β) = sin(α) · cos(β) − cos(α) · sin(β)
cos(α − β) = cos(α) · cos(β) + sin(α) · sin(β)
tan(α) − tan(β)
tan(α − β) =
1 + tan(α) · tan(β)
1 − cos(α)
2
2
α 1 + cos(α)
=
cos2
2
2
α 1 − cos(α)
=
tan
2
sin(α)
sin2
sin(2α) = 2 sin(α) · cos(α)
cos(2α) = cos2 (α) − sin2 (α)
tan(2α) =
tan(−α) = − tan(α)
2 tan(α)
1 − tan2 (α)
15
α
=
Aire A de certains polygones
Rectangle
A = ab
a
b
Parallélogramme
A = aha = bhb = ab sin θ
a
hb
θ
ha
b
a
Trapèze
1
A = (a + b)h
2
h
b
Losange
Polygone régulier à n côtés
1
A = d1 d2 = a2 sin α
2
1
1
A = ncρ = nr 2 sin α
2
2
a
d1
α
d2
α
c
r
ρ
Cercle et disque
Cercle
Périmètre = 2πr
Disque
Aire = πr 2
r
l
Arc de cercle
l = rα
Secteur circulaire
1
1
Aire = rl = r 2 α
2
2
16
r
Aire A et Volume V de certains solides
B désigne l’aire de la base.
Cube
A = 6a2
V = a3
Parallélipipède
rectangle
a
c
A = 2(ab + ac + bc)
V = abc
a
b
Prisme
V = Bh
h
B
Pyramide
1
V = Bh
3
h
B
Cylindre droit
A = 2πr 2 + 2πrh
V = πr 2 h
h
r
Cône droit
A = πr 2 + πrg
g
1
V = πr 2 h
3
h
r
Sphère
A = 4πr 2
r
4
V = πr 3
3
17
Géométrie
Les lignes principales du triangle
⋄ Médiatrices
Une médiatrice est la perpendiculaire à un côté passant
par son milieu.
Les médiatrices se coupent en un point qui est le centre
du cercle circonscrit au triangle.
⋄ Médianes
Une médiane est la droite qui passe par un sommet et
le milieu du côté opposé.
Les médianes se coupent au centre de gravité (ou barycentre) du triangle.
Le centre de gravité est situé aux deux tiers de chaque
médiane, à partir du sommet.
⋄ Bissectrices
Une bissectrice divise un angle en deux parties égales.
Les bissectrices intérieures se coupent en un point qui
est le centre du cercle inscrit dans le triangle.
⋄ Hauteurs
Une hauteur est la perpendiculaire à un côté passant
par le sommet opposé.
Les hauteurs se coupent en un point appelé orthocentre
du triangle.
18
Géométrie analytique
On note (O; ~e1 ; ~e2 ) un repère du plan. Le point O est l’origine du repère, le couple (~e1 ; ~e2 ) est
la base associée au repère.
⊥ indique qu’une relation n’est valable que lorsque les vecteurs sont exprimés dans un
Le signe repère orthonormé (c’est-à-dire lorsque les vecteurs de base sont perpendiculaires entre eux et
de longueur 1).
Les formules ci-dessous sont facilement adaptables dans V3 .
⋄ Composantes d’un vecteur et opérations
ka1
a1
k~a =
~a = a1~e1 + a2~e2 =
ka2
a2
⊥
Produit scalaire de deux vecteurs
Le produit scalaire de ~a et ~b est ~a • ~b = a1 b1 + a2 b2
⊥
Propriétés du produit scalaire
a
+
b
1
1
~a + ~b =
a2 + b2
~a • ~b = ~b • ~a
(k~a) • ~b = ~a • (k~b) = k(~a • ~b)
~a • ~b = 0 ⇔ ~a ⊥ ~b ou ~a = ~0 ou ~b = ~0
⊥
Norme d’un vecteur
La norme (ou longueur) de ~a est k~ak =
⊥
⊥
Propriété de la norme
√
k~ak = ~a • ~a
p
(a1 )2 + (a2 )2
k~a + ~bk ≤ k~ak + k~bk
kk~ak = |k| k~ak
Projection orthogonale a~′ de ~a sur ~b
~a • ~b ~
a~′ =
·b
k~bk2
⊥
~a • (~b + ~c) = ~a • ~b + ~a • ~c
ka~′ k =
|~a • ~b|
k~bk
a~′ • ~b = ~a • ~b
Angle γ entre deux vecteurs ~a et ~b
cos γ =
~a • ~b
k~ak k~bk
⋄ Vecteurs colinéaires (~a 6= ~0)
~a et ~b sont colinéaires ⇔ l’un est un multiple de l’autre
⇔ il existe k ∈ avec ~b = k~a
⇔ a1 b2 − a2 b1 = 0
R
⊥
Aire σ du parallélogramme construit sur ~a et ~b
σ = |a1 b2 − a2 b1 |
⊥
Aire σ du triangle construit sur ~a et ~b
1
σ = |a1 b2 − a2 b1 |
2
19
⋄ Coordonnées d’un point
−→
a1
A(a1 ; a2 ) ⇔ OA =
a2
⋄ Vecteur défini par 2 points
−→ −−→ −→
b1 − a1
AB = OB − OA =
b2 − a2
⋄ Milieu d’un segment
−−→ 1 −→ −−→
M est le milieu de AB ⇔ OM = (OA + OB) ⇔ M
2
a1 + b1 a2 + b2
;
2
2
⋄ Barycentre ou centre de gravité du triangle
G est le barycentre (ou centre degravité) du triangle ABC:
−→ 1 −→ −−→ −→
a1 + b1 + c1 a2 + b2 + c2
;
OG = (OA+ OB + OC) ⇔ G
3
3
3
⊥
Longueur du segment AB où A(a1 ; a2 ) et B(b1 ; b2 )
p
−→
kABk = (b1 − a1 )2 + (b2 − a2 )2
⋄ Equations vectorielles et paramétriques de la droite
P (x; y) est sur la droite passant par A(a1 ; a2 ) et de vecteur directeur d~ =
−→
⇔ AP et d~ sont colinéaires
−→ −→
⇔ il existe k ∈ tel que OP = OA + k d~
(
x = a1 + kd1
⇔ il existe k ∈ tel que
y = a2 + kd2
R
R
⊥
Equations cartésiennes de la droite
d est une droite donnée par sa pente m et son ordonnée à l’origine h :
P (x; y) ∈ d ⇔ y = mx + h
d est une droite donnée par un point A et sa pente m :
P (x; y) ∈ d ⇔ y − a2 = m(x − a1 )
Si la droite d est donnée par ax + by + c = 0, alors :
a
- sa pente vaut m = − (b 6= 0)
b
b
~
- un vecteur directeur est d =
−a
a
- un vecteur normal est ~n =
b
20
d1
d2
⊥
⊥
⊥
Angle aigu γ entre deux droites d et g de vecteurs directeurs d~ et ~g
~ d • ~g γ = 90◦ ⇔ d~ • ~g = 0
cos γ =
~
kdk k~g k
Angle aigu γ entre deux droites de pente m1 et m2
m2 − m1 γ = 90◦ ⇔ m1 · m2 = -1
tan γ = 1 + m1 · m2 Distance δ du point P (p1 ; p2 ) à la droite d d’équation ax + by + c = 0
δ(P ; d) =
⊥
|ap1 + bp2 + c|
√
a2 + b2
Bissectrices
Les droites d et d′ sont données par leurs équations cartésiennes d : ax + by + c = 0 et
d′ : a′ x + b′ y + c′ = 0 .
P (x; y) appartient à l’une des deux bissectrices des droites d et d′
⇔ δ(P ; d) = δ(P ; d′)
ax + by + c
a′ x + b′ y + c′
⇔ √
=± √
a2 + b2
a′2 + b′2
⊥
Cercle
On note γ le cercle de centre C(c1 ; c2 ) et de rayon r.
P (x; y) ∈ γ ⇔
⊥
(x − c1 )2 + (y − c2 )2 = r 2
Tangente à un cercle
La droite t est tangente au cercle γ ⇔
δ(C; t) = r
Equations des tangentes de pente m au cercle γ
√
y − c2 = m(x − c1 ) ± r m2 + 1
P (x; y) est sur la tangente au cercle γ en T (t1 ; t2 ) ∈ γ
⇔ (t1 − c1 )(x − c1 ) + (t2 − c2 )(y − c2 ) = r 2
21
Quelques représentations graphiques
f (x) = x2
f (x) = mx + h
f (x) = x3
1
m
h
1
1
1
1
1
f (x) = |x|
f (x) =
√
1
x
f (x) =
√
3
x
1
1
1
f (x) =
1
1
1
1
1
x
f (x) = ex
f (x) = ln(x)
e
1
1
1
1
e
1
1
f (x) = sin(x)
f (x) = tan(x)
1
1
π
1
f (x) = cos(x)
π
1
1
π
22
Table des matières
Ensembles
Ensembles de nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Intervalles dans l’ensemble des nombres réels pour a < b . . . . . . . . . . . . .
Opérations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
3
3
3
Combinatoire
4
Probabilités
5
Calcul algébrique
Identités remarquables . . . .
Exponentielles et logarithmes
Quelques sommes . . . . . . .
Equations et polynômes . . .
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Analyse
Parité . . .
Limites . . .
Asymptotes
Plan d’étude
Dérivées . .
Intégrales .
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8
. 8
. 8
. 9
. 9
. 10
. 11
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14
14
14
14
14
15
16
16
17
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
d’une fonction
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
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.
.
.
Trigonométrie
Conversion des mesures d’angle . . . . . . . .
Triangle rectangle . . . . . . . . . . . . . . . .
Triangle quelconque . . . . . . . . . . . . . . .
Valeurs exactes des fonctions trigonométriques
Relations trigonométriques . . . . . . . . . . .
Aire A de certains polygones . . . . . . . . . .
Cercle et disque . . . . . . . . . . . . . . . . .
Aire A et Volume V de certains solides . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
de quelques arcs
. . . . . . . . . .
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6
6
6
6
7
Géométrie
18
Les lignes principales du triangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
Géométrie analytique
19
Quelques représentations graphiques
22
Imprimé le 25 août 2008.
Réalisation :
J. Delaporte
Modifications : J-Ph. Javet
M.-S. Dupertuis