Trigonométrie - MathsEnClair.com
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Troisième Démonstrations −Trigonométrie 1. Expliquer pourquoi les points A, C, N sont alignés. Propriété : cohérence de la définition de cosinus, sinus et tangente 3. Montrer que : Séquence 1 : définition de cosinus, sinus, tangente Dans un triangle rectangle, on décide de regarder l’un des deux angles aigus. Les rapports : côté opposé côté adjacent côté opposé . . . hypoténuse hypoténuse côté adjacent 2. Montrer que ( )//( ). AB AC BC = = . En déduire : AM AN MN 4. En divisant chaque membre de l’égalité précédente par : La dernière égalité obtenue signifie que Démonstrations guidées égal à . Montrons que le rapport l’angle aigu. Soit et = ô é ℎ deux triangles rectangles en ∶ é et × × . ô é ô é ℎ é dans le triangle est dans le triangle , et donc que ce quotient ne dépend que ℎ é de la mesure de l’angle aigu regardé dans le triangle rectangle. ne dépend que de la mesure de respectivement, et tels que : .Montrons que le rapport côté opposé ne dépend que de la mesure de hypoténuse l’angle aigu. 2. AB AC BC = = . En déduire que : BC × AM = AB × MN . AM AN MN Montrer que : BC × AN = AC × MN . 3. En déduire que : 1. On a montré que l’angle aigu. Commençons par disposer une copie du triangle , que nous noterons , telle que : , , sont alignés, est rectangle en , = , = , = ( figure ci-contre ) = , obtenir une AB EF nouvelle égalié. Pourquoi cette égalité est-elle équivalente à : = ? AC EG ne dépendent par de la « taille » du triangle rectangle considéré mais seulement de la mesure en degré de l’angle aigu qui est regardé. × Montrer que : BC MN = . Conclure. AC AN . Montrons que le rapport côté opposé ne dépend que de la mesure de côté adjacent BC MN = . Conclure. AB AM Définition de cosinus, sinus et tangente Soit un triangle rectangle en ( comme sur la figure du début ). = On a par définition : cos BAC MathsEnClair.com - Tous droits réservés AB = BC , tan BAC = BC . , sin BAC AC AC AB ∶ • • cos = Formule des carrés Soit le mesure en degré d’un angle aigu d’un triangle rectangle. adj opp opp , sin = , tan = hyp hyp adj , relations que l’on peut « penser » mais On a : cos ²a + sin ²a = 1 . que l’on ne peut pas écrire comme cela sur la copie. Preuve On pourra retenir le mot imaginaire : SOHCAHTOA . Soit Il permet de retrouver facilement les définitions ; par exemple les trois Opp premières lettes SOH sont présentent dans : « S in = ». Hyp = sin BAC Preuve 2 Remplaçons dans la dernière ligne du calcul de <1 : E= AC ² E =1 AC ² Comme E = cos ²a + sin ²a , on en déduit finalement : cos ²a + sin ²a = 1 . Formule de la tangente Soit le mesure en degré d’un angle aigu d’un triangle rectangle. Soit un triangle rectangle en tel que mesure = . AB On a : cos a = . AC Comme les distances et sont deux nombres strictement positifs, on en déduit que cos a est strictement positif. On a : tan a = sin a . cos a preuve Soit D’autre part, en utilisant le fait que le plus grand côté d’un triangle rectangle est l’hypoténuse, on en déduit que : < , puis en divisant par le nombre strictement positif , ce qui va conserver le sens de la AB AC AB AB < < 1 , et comme cos a = , la dernière égalité AC AC AC AC s’écrit aussi : cos a < 1 . On a donc bien finalement : 0 < cos a < 1 . relation d’ordre : On démontrerait de même l’encadrement de sin a . BC . Posons E = cos ²a + sin ²a . AC 2 Formules d’encadrement de et Pour toute mesure d’un angle aigu dans un triangle rectangle, on a : < 1 0 < = a . On a : cos BAC = AB et tel que BAC AC AB ² BC ² AB ² + BC ² AB BC On a : E = + E= + E= AC AC AC ² AC ² AC ² Le triangle est rectangle en , donc d’après le théorème de Pythagore, on en déduit que : AB ² + BC ² = AC ² . Séquence 2 : formules 0< un triangle rectangle en un triangle rectangle en = sin BAC = a . On a : cos BAC = AB , tel que BAC AC BC = BC . et tan BAC AC AB BC sin BAC BC AC BC × AC BC AC = BC . On a : = = × = = ;Or : tan BAC AB cos BAC AB AC AB AC × AB AB AC sin BAC . Finalement, on a bien : tan a = sin a . = tan BAC Donc : cos a cos BAC MathsEnClair.com - Tous droits réservés
