TRIGONOMETRIE
I Cosinus, sinus et tangente d’un angle aigu
1) Définition du cosinus
Dans un triangle rectangle, le cosinus d’un angle aigu est égal au quotient de la longueur du côté adjacent à cet
angle par la longueur de l’hypoténuse.
cos (angle) =
Longueur du côté adjacent à cet angle
Longueur de l'hypoténuse
BA
Exemple : ABC est un triangle rectangle en A, le cosinus de l’angle a
CBA est égal à
.
BC
a)= BA
On écrit : cos (CBA
BC
2) Définition du sinus
Dans un triangle rectangle, le sinus d’un angle aigu est égal au quotient de la longueur du côté opposé à cet
angle par la longueur de l’hypoténuse.
sin (angle) =
Longueur du côté opposé à cet angle
Longueur de l'hypoténuse
AC
Exemple : ABC est un triangle rectangle en A, le sinus de l’angle a
CBA est égal à
.
BC
a) = AC
On écrit : sin (CBA
BC
3) Définition de la tangente d’un angle aigu.
Dans un triangle rectangle, la tangente d’un angle aigu est égale au quotient de la longueur du côté opposé à cet
angle par la longueur du côté adjacent à cet angle.
tan (angle) =
Longueur du côté opposé à cet angle
Longueur du côté adjacent à cet angle
Exemple : RMP est un triangle rectangle en M, la tangente de l’angle a
MRP est égal à
a) = PM
On écrit : tan (MRP
RM
Remarques
Le cosinus, le sinus et la tangente sont des nombres sans unités.
Le cosinus et le sinus d’un angle aigu sont compris entre 0 et 1.
La tangente d’un angle aigu est un nombre positif qui peut être plus grand que 1.
Pour retenir ces formules, on retient SOH - CAH -TOA
II Propriétés
Le nombre x désigne la mesure d’un angle aigu quelconque.
(cosx)² + (sinx)² = 1
Démontrons la formule (cos x)² + (sin x)² = 1
tan x =
sin(x)
cos(x)
PM
.
RM
Comme RST est un triangle rectangle en T, cos(x) =
TS
TR
et sin(x) =
RS
RS
⎛ TS ⎞ 2 ⎛ TR ⎞ 2
Donc (cosx)² + (sinx)² = ⎜
⎟ +⎜
⎟
⎝ RS ⎠
⎝ RS ⎠
(cosx)² + (sinx)² =
TS²
TR²
+
RS²
RS²
(cosx)² + (sinx)² =
TS² + TR²
RS²
Or le triangle étant rectangle (en T), on peut appliquer le théorème de Pythagore : TS² + TR² = RS².
Donc (cosx)² + (sinx)² =
TS² + TR²
RS²
=
= 1
RS²
RS²
Démontrons la formule tan(x)=
On a : sin(x) =
Donc
TR
RS
sin(x)
=
cos(x)
; cos(x) =
TR
RS
TS
RS
=
sin(x)
cos(x)
TS
TR
et tan(x) =
RS
TS
TR
RS
TR
×
=
= tan(x)
RS
TS
TS
Application
On sait que sin (x) = 0,936.
Sans passer par la détermination de la mesure de x, calculer cos(x), puis tan(x).