Un cours de trigonometrie
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TRIGONOMETRIE I Cosinus, sinus et tangente d’un angle aigu 1) Définition du cosinus Dans un triangle rectangle, le cosinus d’un angle aigu est égal au quotient de la longueur du côté adjacent à cet angle par la longueur de l’hypoténuse. cos (angle) = Longueur du côté adjacent à cet angle Longueur de l'hypoténuse BA Exemple : ABC est un triangle rectangle en A, le cosinus de l’angle a CBA est égal à . BC a)= BA On écrit : cos (CBA BC 2) Définition du sinus Dans un triangle rectangle, le sinus d’un angle aigu est égal au quotient de la longueur du côté opposé à cet angle par la longueur de l’hypoténuse. sin (angle) = Longueur du côté opposé à cet angle Longueur de l'hypoténuse AC Exemple : ABC est un triangle rectangle en A, le sinus de l’angle a CBA est égal à . BC a) = AC On écrit : sin (CBA BC 3) Définition de la tangente d’un angle aigu. Dans un triangle rectangle, la tangente d’un angle aigu est égale au quotient de la longueur du côté opposé à cet angle par la longueur du côté adjacent à cet angle. tan (angle) = Longueur du côté opposé à cet angle Longueur du côté adjacent à cet angle Exemple : RMP est un triangle rectangle en M, la tangente de l’angle a MRP est égal à a) = PM On écrit : tan (MRP RM Remarques Le cosinus, le sinus et la tangente sont des nombres sans unités. Le cosinus et le sinus d’un angle aigu sont compris entre 0 et 1. La tangente d’un angle aigu est un nombre positif qui peut être plus grand que 1. Pour retenir ces formules, on retient SOH - CAH -TOA II Propriétés Le nombre x désigne la mesure d’un angle aigu quelconque. (cosx)² + (sinx)² = 1 Démontrons la formule (cos x)² + (sin x)² = 1 tan x = sin(x) cos(x) PM . RM Comme RST est un triangle rectangle en T, cos(x) = TS TR et sin(x) = RS RS ⎛ TS ⎞ 2 ⎛ TR ⎞ 2 Donc (cosx)² + (sinx)² = ⎜ ⎟ +⎜ ⎟ ⎝ RS ⎠ ⎝ RS ⎠ (cosx)² + (sinx)² = TS² TR² + RS² RS² (cosx)² + (sinx)² = TS² + TR² RS² Or le triangle étant rectangle (en T), on peut appliquer le théorème de Pythagore : TS² + TR² = RS². Donc (cosx)² + (sinx)² = TS² + TR² RS² = = 1 RS² RS² Démontrons la formule tan(x)= On a : sin(x) = Donc TR RS sin(x) = cos(x) ; cos(x) = TR RS TS RS = sin(x) cos(x) TS TR et tan(x) = RS TS TR RS TR × = = tan(x) RS TS TS Application On sait que sin (x) = 0,936. Sans passer par la détermination de la mesure de x, calculer cos(x), puis tan(x).
