Fonctions trigonométriques DELOBEL LUITAUD HALLOSSERIE Blaise Pascal septembre 2016 « Ses cheveux coupés à la mode formaient des ondulations charmantes. » La défense Loujine - Vladimir Nabokov DELOBEL LUITAUD HALLOSSERIE (Blaise Pascal) Chapitre 10 septembre 2016 1 / 39 Sommaire 1. Rappels de première 1.1 Définition et premières propriétés 1.2 Angles associés 1.3 Les formules d’addition et de duplication 2. Dérivabilité des fonctions cosinus et sinus 2.1 Dérivabilité en 0 2.2 Fonction dérivée 2.3 Composition 3. Étude des fonctions cosinus et sinus 3.1 Étude de la fonction cosinus 3.2 Étude de la fonction sinus DELOBEL LUITAUD HALLOSSERIE (Blaise Pascal) Chapitre 10 septembre 2016 2 / 39 Sommaire 1. Rappels de première 1.1 Définition et premières propriétés 1.2 Angles associés 1.3 Les formules d’addition et de duplication 2. Dérivabilité des fonctions cosinus et sinus 2.1 Dérivabilité en 0 2.2 Fonction dérivée 2.3 Composition 3. Étude des fonctions cosinus et sinus 3.1 Étude de la fonction cosinus 3.2 Étude de la fonction sinus DELOBEL LUITAUD HALLOSSERIE (Blaise Pascal) Chapitre 10 septembre 2016 3 / 39 Soit (O; I, J) un repère orthonormé du plan et C le cercle trigonométrique (rayon 1 et orienté dans le sens giratoire). À tout réel x, on associe un point M du cercle C tel que x soit une mesure en −→ −−→ radians de l’angle orienté OI; OM . Par définition, cos(x) et sin(x) sont l’abscisse et l’ordonnée de M . C J M sin x x O DELOBEL LUITAUD HALLOSSERIE (Blaise Pascal) Chapitre 10 cos x I septembre 2016 4 / 39 Propriété 1 Pour tout réel x et pour tout entier k, on a : cos2 x + sin2 x = 1 (relation fondamentale) DELOBEL LUITAUD HALLOSSERIE (Blaise Pascal) Chapitre 10 septembre 2016 5 / 39 Propriété 1 Pour tout réel x et pour tout entier k, on a : cos2 x + sin2 x = 1 (relation fondamentale) −1 6 cos x 6 1 et DELOBEL LUITAUD HALLOSSERIE (Blaise Pascal) −1 6 sin x 6 1 Chapitre 10 septembre 2016 5 / 39 Propriété 1 Pour tout réel x et pour tout entier k, on a : cos2 x + sin2 x = 1 (relation fondamentale) −1 6 cos x 6 1 et cos(x + 2kπ) = cos x −1 6 sin x 6 1 et sin(x + 2kπ) = sin x (Les fonctions cosinus et sinus sont périodiques 1 de période 2π.) 1. On dit que f est périodique de période T lorsque pour tout réel x, on a f (x + T ) = f (x). DELOBEL LUITAUD HALLOSSERIE (Blaise Pascal) Chapitre 10 septembre 2016 5 / 39 Angles remarquables : Angle en radians 0 Cosinus 1 Sinus 0 π 2 √ π 3 3 π √6 3 2 1 2 π √4 2 2 √ 2 2 π 3 1 √2 3 2 π 2 0 1 π 4 √ 2 2 2 1 π 6 2 1 2 √ 2 2 √ 3 0 2 DELOBEL LUITAUD HALLOSSERIE (Blaise Pascal) Chapitre 10 septembre 2016 6 / 39 Angles remarquables : Angle en radians 0 Cosinus 1 Sinus 0 π 2 √ π 3 3 π √6 3 2 1 2 π √4 2 2 √ 2 2 π 3 1 √2 3 2 π 2 0 1 π 4 √ 2 2 2 1 π 6 2 1 2 √ 2 2 √ 3 0 2 DELOBEL LUITAUD HALLOSSERIE (Blaise Pascal) Chapitre 10 septembre 2016 6 / 39 Angles remarquables : Angle en radians 0 Cosinus 1 Sinus 0 π 2 √ π 3 3 π √6 3 2 1 2 π √4 2 2 √ 2 2 π 3 1 √2 3 2 π 2 0 1 π 4 √ 2 2 2 1 π 6 2 1 2 √ 2 2 √ 3 0 2 DELOBEL LUITAUD HALLOSSERIE (Blaise Pascal) Chapitre 10 septembre 2016 6 / 39 Angles remarquables : Angle en radians 0 Cosinus 1 Sinus 0 π 2 √ π 3 3 π √6 3 2 1 2 π √4 2 2 √ 2 2 π 3 1 √2 3 2 π 2 0 1 π 4 √ 2 2 2 1 π 6 2 1 2 √ 2 2 √ 3 0 2 DELOBEL LUITAUD HALLOSSERIE (Blaise Pascal) Chapitre 10 septembre 2016 6 / 39 Angles remarquables : Angle en radians 0 Cosinus 1 Sinus 0 π 2 √ π 3 3 π √6 3 2 1 2 π √4 2 2 √ 2 2 π 3 1 √2 3 2 π 2 0 1 π 4 √ 2 2 2 1 π 6 2 1 2 √ 2 2 √ 3 0 2 DELOBEL LUITAUD HALLOSSERIE (Blaise Pascal) Chapitre 10 septembre 2016 6 / 39 Angles remarquables : Angle en radians 0 Cosinus 1 Sinus 0 π 2 √ π 3 3 π √6 3 2 1 2 π √4 2 2 √ 2 2 π 3 1 √2 3 2 π 2 0 1 π 4 √ 2 2 2 1 π 6 2 1 2 √ 2 2 √ 3 0 2 DELOBEL LUITAUD HALLOSSERIE (Blaise Pascal) Chapitre 10 septembre 2016 6 / 39 Angles remarquables : Angle en radians 0 Cosinus 1 Sinus 0 π 2 √ π 3 3 π √6 3 2 1 2 π √4 2 2 √ 2 2 π 3 1 √2 3 2 π 2 0 1 π 4 √ 2 2 2 1 π 6 2 1 2 √ 2 2 √ 3 0 2 DELOBEL LUITAUD HALLOSSERIE (Blaise Pascal) Chapitre 10 septembre 2016 6 / 39 Angles remarquables : Angle en radians 0 Cosinus 1 Sinus 0 π 2 √ π 3 3 π √6 3 2 1 2 π √4 2 2 √ 2 2 π 3 1 √2 3 2 π 2 0 1 π 4 √ 2 2 2 1 π 6 2 1 2 √ 2 2 √ 3 0 2 DELOBEL LUITAUD HALLOSSERIE (Blaise Pascal) Chapitre 10 septembre 2016 6 / 39 Angles remarquables : Angle en radians 0 Cosinus 1 Sinus 0 π 2 √ π 3 3 π √6 3 2 1 2 π √4 2 2 √ 2 2 π 3 1 √2 3 2 π 2 0 1 π 4 √ 2 2 2 1 π 6 2 1 2 √ 2 2 √ 3 0 2 DELOBEL LUITAUD HALLOSSERIE (Blaise Pascal) Chapitre 10 septembre 2016 6 / 39 Angles remarquables : Angle en radians 0 Cosinus 1 Sinus 0 π 2 √ π 3 3 π √6 3 2 1 2 π √4 2 2 √ 2 2 π 3 1 √2 3 2 π 2 0 1 π 4 √ 2 2 2 1 π 6 2 1 2 √ 2 2 √ 3 0 2 DELOBEL LUITAUD HALLOSSERIE (Blaise Pascal) Chapitre 10 septembre 2016 6 / 39 Exercice 1 (Pour utiliser la relation fondamentale) Déterminer cos x sachant que sin x = DELOBEL LUITAUD HALLOSSERIE (Blaise Pascal) hπ i 1 et x ∈ ;π . 3 2 Chapitre 10 septembre 2016 7 / 39 Exercice 1 (Pour utiliser la relation fondamentale) Déterminer cos x sachant que sin x = hπ i 1 et x ∈ ;π . 3 2 Exercice 2 (Pour utiliser la relation fondamentale) Soit A(x) = (cos x + sin x)2 + (cos x − sin x)2 . π π 1. Calculer A et A . 4 3 2. Que peut-on conjecturer ? Le prouver. DELOBEL LUITAUD HALLOSSERIE (Blaise Pascal) Chapitre 10 septembre 2016 7 / 39 Exercice 3 (Fonction périodique) Démontrer que les fonctions suivantes sont périodiques de période T . π 1. f (x) = cos(4x) − 5 T = 2 2. g(x) = sin(πx) T =2 DELOBEL LUITAUD HALLOSSERIE (Blaise Pascal) Chapitre 10 septembre 2016 8 / 39 Exercice 3 (Fonction périodique) Démontrer que les fonctions suivantes sont périodiques de période T . π 1. f (x) = cos(4x) − 5 T = 2 2. g(x) = sin(πx) T =2 Exercice 4 (Des équations trigonométriques) Résoudre dans R les équations suivantes : √ 2 1. cos(2x) = − 2 2. 2 sin2 x − 3 sin x − 2 = 0 DELOBEL LUITAUD HALLOSSERIE (Blaise Pascal) Chapitre 10 septembre 2016 8 / 39 Exercice 5 (Signe de fonction trigonométrique) 1 Soit f la fonction définie sur 0 ; 2π par f (x) = cos x + . 2 f (x) > 0 ⇐⇒ cos x > . . . f (x) = 0 ⇐⇒ cos x = . . . f (x) < 0 ⇐⇒ cos x < . . . J x 0 C 2π x =15. Signe de f (x) DELOBEL LUITAUD HALLOSSERIE (Blaise Pascal) O Chapitre 10 I septembre 2016 9 / 39 Exercice 6 (Signe de fonction trigonométrique, encore) Soit g la fonction définie sur −π π ; 2 2 π par f (x) = cos 2x − . 3 Compléter : Lorsque x décrit x −π π π ; , 2x − décrit . . . 2 2 3 −π 2 π 2 Angle π 2x − 3 C O I π 2x − =-240. 3 Signe de g(x) DELOBEL LUITAUD HALLOSSERIE (Blaise Pascal) J Chapitre 10 septembre 2016 10 / 39 Sommaire 1. Rappels de première 1.1 Définition et premières propriétés 1.2 Angles associés 1.3 Les formules d’addition et de duplication 2. Dérivabilité des fonctions cosinus et sinus 2.1 Dérivabilité en 0 2.2 Fonction dérivée 2.3 Composition 3. Étude des fonctions cosinus et sinus 3.1 Étude de la fonction cosinus 3.2 Étude de la fonction sinus DELOBEL LUITAUD HALLOSSERIE (Blaise Pascal) Chapitre 10 septembre 2016 11 / 39 Théorème 1 (Les angles associés) π−x x x x −x π+x ( cos(−x) = cos x sin(−x) = − sin x ( cos(π − x) = − cos x sin(π − x) = sin x π −x 2 π +x 2 x ( cos sin π 2 π 2 − x = sin x − x = cos x DELOBEL LUITAUD HALLOSSERIE (Blaise Pascal) ( cos(π + x) = − cos x sin(π + x) = − sin x x ( Chapitre 10 cos sin π 2 π 2 + x = − sin x + x = cos x septembre 2016 12 / 39 Théorème 1 (Les angles associés) π−x x x x −x π+x ( cos(−x) = cos x sin(−x) = − sin x ( cos(π − x) = − cos x sin(π − x) = sin x π −x 2 π +x 2 x ( cos sin π 2 π 2 − x = sin x − x = cos x DELOBEL LUITAUD HALLOSSERIE (Blaise Pascal) ( cos(π + x) = − cos x sin(π + x) = − sin x x ( Chapitre 10 cos sin π 2 π 2 + x = − sin x + x = cos x septembre 2016 12 / 39 Théorème 1 (Les angles associés) π−x x x x −x π+x ( cos(−x) = cos x sin(−x) = − sin x ( cos(π − x) = − cos x sin(π − x) = sin x π −x 2 π +x 2 x ( cos sin π 2 π 2 − x = sin x − x = cos x DELOBEL LUITAUD HALLOSSERIE (Blaise Pascal) ( cos(π + x) = − cos x sin(π + x) = − sin x x ( Chapitre 10 cos sin π 2 π 2 + x = − sin x + x = cos x septembre 2016 12 / 39 Théorème 1 (Les angles associés) π−x x x x −x π+x ( cos(−x) = cos x sin(−x) = − sin x ( cos(π − x) = − cos x sin(π − x) = sin x π −x 2 π +x 2 x ( cos sin π 2 π 2 − x = sin x − x = cos x DELOBEL LUITAUD HALLOSSERIE (Blaise Pascal) ( cos(π + x) = − cos x sin(π + x) = − sin x x ( Chapitre 10 cos sin π 2 π 2 + x = − sin x + x = cos x septembre 2016 12 / 39 Théorème 1 (Les angles associés) π−x x x x −x π+x ( cos(−x) = cos x sin(−x) = − sin x ( cos(π − x) = − cos x sin(π − x) = sin x π −x 2 π +x 2 x ( cos sin π 2 π 2 − x = sin x − x = cos x DELOBEL LUITAUD HALLOSSERIE (Blaise Pascal) ( cos(π + x) = − cos x sin(π + x) = − sin x x ( Chapitre 10 cos sin π 2 π 2 + x = − sin x + x = cos x septembre 2016 12 / 39 Théorème 1 (Les angles associés) π−x x x x −x π+x ( cos(−x) = cos x sin(−x) = − sin x ( cos(π − x) = − cos x sin(π − x) = sin x π −x 2 π +x 2 x ( cos sin π 2 π 2 − x = sin x − x = cos x DELOBEL LUITAUD HALLOSSERIE (Blaise Pascal) ( cos(π + x) = − cos x sin(π + x) = − sin x x ( Chapitre 10 cos sin π 2 π 2 + x = − sin x + x = cos x septembre 2016 12 / 39 Théorème 1 (Les angles associés) π−x x x x −x π+x ( cos(−x) = cos x sin(−x) = − sin x ( cos(π − x) = − cos x sin(π − x) = sin x π −x 2 π +x 2 x ( cos sin π 2 π 2 − x = sin x − x = cos x DELOBEL LUITAUD HALLOSSERIE (Blaise Pascal) ( cos(π + x) = − cos x sin(π + x) = − sin x x ( Chapitre 10 cos sin π 2 π 2 + x = − sin x + x = cos x septembre 2016 12 / 39 Théorème 1 (Les angles associés) π−x x x x −x π+x ( cos(−x) = cos x sin(−x) = − sin x ( cos(π − x) = − cos x sin(π − x) = sin x π −x 2 π +x 2 x ( cos sin π 2 π 2 − x = sin x − x = cos x DELOBEL LUITAUD HALLOSSERIE (Blaise Pascal) ( cos(π + x) = − cos x sin(π + x) = − sin x x ( Chapitre 10 cos sin π 2 π 2 + x = − sin x + x = cos x septembre 2016 12 / 39 Théorème 1 (Les angles associés) π−x x x x −x π+x ( cos(−x) = cos x sin(−x) = − sin x ( cos(π − x) = − cos x sin(π − x) = sin x π −x 2 π +x 2 x ( cos sin π 2 π 2 − x = sin x − x = cos x DELOBEL LUITAUD HALLOSSERIE (Blaise Pascal) ( cos(π + x) = − cos x sin(π + x) = − sin x x ( Chapitre 10 cos sin π 2 π 2 + x = − sin x + x = cos x septembre 2016 12 / 39 Théorème 1 (Les angles associés) π−x x x x −x π+x ( cos(−x) = cos x sin(−x) = − sin x ( cos(π − x) = − cos x sin(π − x) = sin x π −x 2 π +x 2 x ( cos sin π 2 π 2 − x = sin x − x = cos x DELOBEL LUITAUD HALLOSSERIE (Blaise Pascal) ( cos(π + x) = − cos x sin(π + x) = − sin x x ( Chapitre 10 cos sin π 2 π 2 + x = − sin x + x = cos x septembre 2016 12 / 39 Théorème 1 (Les angles associés) π−x x x x −x π+x ( cos(−x) = cos x sin(−x) = − sin x ( cos(π − x) = − cos x sin(π − x) = sin x π −x 2 π +x 2 x ( cos sin π 2 π 2 − x = sin x − x = cos x DELOBEL LUITAUD HALLOSSERIE (Blaise Pascal) ( cos(π + x) = − cos x sin(π + x) = − sin x x ( Chapitre 10 cos sin π 2 π 2 + x = − sin x + x = cos x septembre 2016 12 / 39 Remarques la fonction cosinus est une fonction paire car pour tout x ∈ R, cos(−x) = cos x. DELOBEL LUITAUD HALLOSSERIE (Blaise Pascal) Chapitre 10 septembre 2016 13 / 39 Remarques la fonction cosinus est une fonction paire car pour tout x ∈ R, cos(−x) = cos x. la fonction sinus est une fonction impaire car pour tout x ∈ R, sin(−x) = − sin x. DELOBEL LUITAUD HALLOSSERIE (Blaise Pascal) Chapitre 10 septembre 2016 13 / 39 Exercice 7 (Paire ? Périodique ?) Soit f la fonction définie sur R par f (x) = cos x + sin x. 1. Démontrer que f (−π) = f (π). 2. La fonction f est-elle paire ? 3. Démontrer que f est périodique de période 2π. DELOBEL LUITAUD HALLOSSERIE (Blaise Pascal) Chapitre 10 septembre 2016 14 / 39 Exercice 7 (Paire ? Périodique ?) Soit f la fonction définie sur R par f (x) = cos x + sin x. 1. Démontrer que f (−π) = f (π). 2. La fonction f est-elle paire ? 3. Démontrer que f est périodique de période 2π. Exercice 8 (Équations et angles associés) Résoudre dans R les équations suivantes : x π 1. cos + = − cos x 2 3 2. cos x = sin x DELOBEL LUITAUD HALLOSSERIE (Blaise Pascal) Chapitre 10 septembre 2016 14 / 39 Sommaire 1. Rappels de première 1.1 Définition et premières propriétés 1.2 Angles associés 1.3 Les formules d’addition et de duplication 2. Dérivabilité des fonctions cosinus et sinus 2.1 Dérivabilité en 0 2.2 Fonction dérivée 2.3 Composition 3. Étude des fonctions cosinus et sinus 3.1 Étude de la fonction cosinus 3.2 Étude de la fonction sinus DELOBEL LUITAUD HALLOSSERIE (Blaise Pascal) Chapitre 10 septembre 2016 15 / 39 Théorème 2 (Les formules d’addition) Soient a et b deux réels. cos(a + b) = cos a cos b − sin a sin b cos(a − b) = cos a cos b + sin a sin b sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b sin(a − b) = sin a cos b − cos a sin b DELOBEL LUITAUD HALLOSSERIE (Blaise Pascal) Chapitre 10 septembre 2016 16 / 39 Théorème 2 (Les formules d’addition) Soient a et b deux réels. cos(a + b) = cos a cos b − sin a sin b cos(a − b) = cos a cos b + sin a sin b sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b sin(a − b) = sin a cos b − cos a sin b DELOBEL LUITAUD HALLOSSERIE (Blaise Pascal) Chapitre 10 septembre 2016 16 / 39 Théorème 2 (Les formules d’addition) Soient a et b deux réels. cos(a + b) = cos a cos b − sin a sin b cos(a − b) = cos a cos b + sin a sin b sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b sin(a − b) = sin a cos b − cos a sin b DELOBEL LUITAUD HALLOSSERIE (Blaise Pascal) Chapitre 10 septembre 2016 16 / 39 Théorème 2 (Les formules d’addition) Soient a et b deux réels. cos(a + b) = cos a cos b − sin a sin b cos(a − b) = cos a cos b + sin a sin b sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b sin(a − b) = sin a cos b − cos a sin b DELOBEL LUITAUD HALLOSSERIE (Blaise Pascal) Chapitre 10 septembre 2016 16 / 39 Théorème 2 (Les formules d’addition) Soient a et b deux réels. cos(a + b) = cos a cos b − sin a sin b cos(a − b) = cos a cos b + sin a sin b sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b sin(a − b) = sin a cos b − cos a sin b DELOBEL LUITAUD HALLOSSERIE (Blaise Pascal) Chapitre 10 septembre 2016 16 / 39 En prenant a = b, nous obtenons les formules suivantes : Théorème 3 (Les formules de duplication) Soit a un réel. 2 2 cos a − sin a cos (2a) = 2 cos2 a − 1 1 − 2 sin2 a DELOBEL LUITAUD HALLOSSERIE (Blaise Pascal) et Chapitre 10 sin (2a) = 2 sin a cos a septembre 2016 17 / 39 En prenant a = b, nous obtenons les formules suivantes : Théorème 3 (Les formules de duplication) Soit a un réel. 2 2 cos a − sin a cos (2a) = 2 cos2 a − 1 1 − 2 sin2 a DELOBEL LUITAUD HALLOSSERIE (Blaise Pascal) et Chapitre 10 sin (2a) = 2 sin a cos a septembre 2016 17 / 39 En prenant a = b, nous obtenons les formules suivantes : Théorème 3 (Les formules de duplication) Soit a un réel. 2 2 cos a − sin a cos (2a) = 2 cos2 a − 1 1 − 2 sin2 a DELOBEL LUITAUD HALLOSSERIE (Blaise Pascal) et Chapitre 10 sin (2a) = 2 sin a cos a septembre 2016 17 / 39 En prenant a = b, nous obtenons les formules suivantes : Théorème 3 (Les formules de duplication) Soit a un réel. 2 2 cos a − sin a cos (2a) = 2 cos2 a − 1 1 − 2 sin2 a DELOBEL LUITAUD HALLOSSERIE (Blaise Pascal) et Chapitre 10 sin (2a) = 2 sin a cos a septembre 2016 17 / 39 En prenant a = b, nous obtenons les formules suivantes : Théorème 3 (Les formules de duplication) Soit a un réel. 2 2 cos a − sin a cos (2a) = 2 cos2 a − 1 1 − 2 sin2 a DELOBEL LUITAUD HALLOSSERIE (Blaise Pascal) et Chapitre 10 sin (2a) = 2 sin a cos a septembre 2016 17 / 39 En prenant a = b, nous obtenons les formules suivantes : Théorème 3 (Les formules de duplication) Soit a un réel. 2 2 cos a − sin a cos (2a) = 2 cos2 a − 1 1 − 2 sin2 a et sin (2a) = 2 sin a cos a Théorème 4 Soit a un réel. cos2 a = 1 + cos(2a) 2 DELOBEL LUITAUD HALLOSSERIE (Blaise Pascal) et Chapitre 10 sin2 a = 1 − cos(2a) 2 septembre 2016 17 / 39 En prenant a = b, nous obtenons les formules suivantes : Théorème 3 (Les formules de duplication) Soit a un réel. 2 2 cos a − sin a cos (2a) = 2 cos2 a − 1 1 − 2 sin2 a et sin (2a) = 2 sin a cos a Théorème 4 Soit a un réel. cos2 a = 1 + cos(2a) 2 DELOBEL LUITAUD HALLOSSERIE (Blaise Pascal) et Chapitre 10 sin2 a = 1 − cos(2a) 2 septembre 2016 17 / 39 En prenant a = b, nous obtenons les formules suivantes : Théorème 3 (Les formules de duplication) Soit a un réel. 2 2 cos a − sin a cos (2a) = 2 cos2 a − 1 1 − 2 sin2 a et sin (2a) = 2 sin a cos a Théorème 4 Soit a un réel. cos2 a = 1 + cos(2a) 2 DELOBEL LUITAUD HALLOSSERIE (Blaise Pascal) et Chapitre 10 sin2 a = 1 − cos(2a) 2 septembre 2016 17 / 39 Sommaire 1. Rappels de première 1.1 Définition et premières propriétés 1.2 Angles associés 1.3 Les formules d’addition et de duplication 2. Dérivabilité des fonctions cosinus et sinus 2.1 Dérivabilité en 0 2.2 Fonction dérivée 2.3 Composition 3. Étude des fonctions cosinus et sinus 3.1 Étude de la fonction cosinus 3.2 Étude de la fonction sinus DELOBEL LUITAUD HALLOSSERIE (Blaise Pascal) Chapitre 10 septembre 2016 18 / 39 Sommaire 1. Rappels de première 1.1 Définition et premières propriétés 1.2 Angles associés 1.3 Les formules d’addition et de duplication 2. Dérivabilité des fonctions cosinus et sinus 2.1 Dérivabilité en 0 2.2 Fonction dérivée 2.3 Composition 3. Étude des fonctions cosinus et sinus 3.1 Étude de la fonction cosinus 3.2 Étude de la fonction sinus DELOBEL LUITAUD HALLOSSERIE (Blaise Pascal) Chapitre 10 septembre 2016 19 / 39 On admet que les fonctions cosinus et sinus sont continues sur R. Propriété 2 lim x→0 sin x =1 x DELOBEL LUITAUD HALLOSSERIE (Blaise Pascal) et Chapitre 10 lim x→0 cos x − 1 =0 x septembre 2016 20 / 39 On admet que les fonctions cosinus et sinus sont continues sur R. Propriété 2 lim x→0 sin x =1 x DELOBEL LUITAUD HALLOSSERIE (Blaise Pascal) et Chapitre 10 lim x→0 cos x − 1 =0 x septembre 2016 20 / 39 On admet que les fonctions cosinus et sinus sont continues sur R. Propriété 2 lim x→0 sin x =1 x DELOBEL LUITAUD HALLOSSERIE (Blaise Pascal) et Chapitre 10 lim x→0 cos x − 1 =0 x septembre 2016 20 / 39 Démonstration Indication pour la première limite : Dans le repère (O; I, J), C est le cercle trigonométrique de centre O et de rayon OI = 1. _ Le point M est sur l’arc de cercle IJ. Le projeté orthogonal de M sur [OI] est le point C et la droite ∆ est la perpendiculaire à (OI) passant par I. T est le point d’intersection de (OM ) et ∆. J C T M ∆ A1 l’aire du triangle OIM ; A2 l’aire du secteur angulaire OIM ; A3 l’aire du triangle OIT ; −→ −−→ x une mesure de l’angle OI; OM . x O C I On admet que A1 6 A2 6 A3 . DELOBEL LUITAUD HALLOSSERIE (Blaise Pascal) Chapitre 10 septembre 2016 21 / 39 Démonstration 1. Exprimer A1 , A2 et A3 en fonction de x. i πh , 2. Démontrer que pour tout x ∈ 0 ; sin x 6 x 6 sin x . cos x 3. En déduire un encadrement de 4. Prouver que lim x→0 x>0 T 2 M ∆ sin x . x sin x = 1. x DELOBEL LUITAUD HALLOSSERIE (Blaise Pascal) J C x O Chapitre 10 C I septembre 2016 21 / 39 Démonstration i π 2 h 5. Soit x ∈ − ; 0 . 1 2 3 À quel intervalle appartient −x ? Déduire de l’encadrement de la question sin x 3., un encadrement de pour x h i π x∈ − ;0 . 2 sin x Prouver que lim = 1. x→0 x J C T M ∆ x<0 6. Conclure. x Indication pour la deuxième limite : Utiliser le théorème 4 pour prouver que, pour x tout réel x, cos x − 1 = −2 sin2 et utiliser la 2 limite précédente. DELOBEL LUITAUD HALLOSSERIE (Blaise Pascal) Chapitre 10 O C I septembre 2016 21 / 39 Exercice 9 Déterminer les limites suivantes : sin(2x) 1. lim x→0 x sin(3x) 2. lim x→0 sin(2x) 1 3. x→+∞ lim x sin x DELOBEL LUITAUD HALLOSSERIE (Blaise Pascal) Chapitre 10 septembre 2016 22 / 39 Exercice 9 Déterminer les limites suivantes : sin(2x) 1. lim x→0 x sin(3x) 2. lim x→0 sin(2x) 1 3. x→+∞ lim x sin x Remarque Ces résultats prouvent que les fonctions cosinus et sinus sont dérivables en 0 : sin0 (0) = 1 DELOBEL LUITAUD HALLOSSERIE (Blaise Pascal) et Chapitre 10 cos0 (0) = 0 septembre 2016 22 / 39 Sommaire 1. Rappels de première 1.1 Définition et premières propriétés 1.2 Angles associés 1.3 Les formules d’addition et de duplication 2. Dérivabilité des fonctions cosinus et sinus 2.1 Dérivabilité en 0 2.2 Fonction dérivée 2.3 Composition 3. Étude des fonctions cosinus et sinus 3.1 Étude de la fonction cosinus 3.2 Étude de la fonction sinus DELOBEL LUITAUD HALLOSSERIE (Blaise Pascal) Chapitre 10 septembre 2016 23 / 39 Théorème 5 Les fonctions cosinus et sinus sont dérivables sur R et on : cos0 (x) = − sin x DELOBEL LUITAUD HALLOSSERIE (Blaise Pascal) et Chapitre 10 sin0 (x) = cos x septembre 2016 24 / 39 Théorème 5 Les fonctions cosinus et sinus sont dérivables sur R et on : cos0 (x) = − sin x DELOBEL LUITAUD HALLOSSERIE (Blaise Pascal) et Chapitre 10 sin0 (x) = cos x septembre 2016 24 / 39 Théorème 5 Les fonctions cosinus et sinus sont dérivables sur R et on : cos0 (x) = − sin x DELOBEL LUITAUD HALLOSSERIE (Blaise Pascal) et Chapitre 10 sin0 (x) = cos x septembre 2016 24 / 39 Théorème 5 Les fonctions cosinus et sinus sont dérivables sur R et on : cos0 (x) = − sin x et sin0 (x) = cos x Démonstration Indication pour la fonction cosinus : Soit a ∈ R et h un réel non nul. Démontrer que le taux d’accroissement de cos en a est τ (h) = cos(a + h) − cos(a) cos h − 1 sin h = cos a − sin a . h h h Puis conclure en utilisant la proposition 2. Réitérer la même démarche pour la fonction sinus. DELOBEL LUITAUD HALLOSSERIE (Blaise Pascal) Chapitre 10 septembre 2016 24 / 39 Exercice 10 Soient Cf et Cg les courbes représentatives des fonctions définies sur R par f (x) = cos x et g(x) = sin x. π 3π Les tangentes à Cf au point d’abscisse et à Cg au point d’abscisse 4 4 sont-elles parallèles ? DELOBEL LUITAUD HALLOSSERIE (Blaise Pascal) Chapitre 10 septembre 2016 25 / 39 Exercice 11 Calculer les dérivées des fonctions suivantes sur l’intervalle donné. 1. f (x) = x cos x 2. g(x) = sin2 x 3. h(x) = tan x 4. k(x) = cos x x sur R sur R i π πh sur − ; 2 2 sur 0 ; +∞ DELOBEL LUITAUD HALLOSSERIE (Blaise Pascal) Chapitre 10 septembre 2016 26 / 39 Sommaire 1. Rappels de première 1.1 Définition et premières propriétés 1.2 Angles associés 1.3 Les formules d’addition et de duplication 2. Dérivabilité des fonctions cosinus et sinus 2.1 Dérivabilité en 0 2.2 Fonction dérivée 2.3 Composition 3. Étude des fonctions cosinus et sinus 3.1 Étude de la fonction cosinus 3.2 Étude de la fonction sinus DELOBEL LUITAUD HALLOSSERIE (Blaise Pascal) Chapitre 10 septembre 2016 27 / 39 Propriété 3 Soit u une fonction définie et dérivable sur un intervalle I. Alors on a : cos0 (u) = −u0 sin u DELOBEL LUITAUD HALLOSSERIE (Blaise Pascal) et Chapitre 10 sin0 (u) = u0 cos u septembre 2016 28 / 39 Propriété 3 Soit u une fonction définie et dérivable sur un intervalle I. Alors on a : cos0 (u) = − u0 sin u DELOBEL LUITAUD HALLOSSERIE (Blaise Pascal) et Chapitre 10 sin0 (u) = u0 cos u septembre 2016 28 / 39 Propriété 3 Soit u une fonction définie et dérivable sur un intervalle I. Alors on a : cos0 (u) = − u0 sin u DELOBEL LUITAUD HALLOSSERIE (Blaise Pascal) et Chapitre 10 sin0 (u) = u0 cos u septembre 2016 28 / 39 Exercice 12 Calculer les dérivées fonctions suivantes sur l’intervalle donné. des π 1. f (x) = cos 10x + sur R 3 x π 2 2. g(x) = sin + sur R 2 3 r −π π x 3. h(x) = 1 − sin2 sur ; 2 2 2 sin 2x −π π 4. k(x) = sur ; cos 2x 4 4 DELOBEL LUITAUD HALLOSSERIE (Blaise Pascal) Chapitre 10 septembre 2016 29 / 39 Sommaire 1. Rappels de première 1.1 Définition et premières propriétés 1.2 Angles associés 1.3 Les formules d’addition et de duplication 2. Dérivabilité des fonctions cosinus et sinus 2.1 Dérivabilité en 0 2.2 Fonction dérivée 2.3 Composition 3. Étude des fonctions cosinus et sinus 3.1 Étude de la fonction cosinus 3.2 Étude de la fonction sinus DELOBEL LUITAUD HALLOSSERIE (Blaise Pascal) Chapitre 10 septembre 2016 30 / 39 Sommaire 1. Rappels de première 1.1 Définition et premières propriétés 1.2 Angles associés 1.3 Les formules d’addition et de duplication 2. Dérivabilité des fonctions cosinus et sinus 2.1 Dérivabilité en 0 2.2 Fonction dérivée 2.3 Composition 3. Étude des fonctions cosinus et sinus 3.1 Étude de la fonction cosinus 3.2 Étude de la fonction sinus DELOBEL LUITAUD HALLOSSERIE (Blaise Pascal) Chapitre 10 septembre 2016 31 / 39 On a vu précédemment que la fonction cosinus est périodique de période 2π. On peut donc restreindre l’étude de la fonction cosinus à un intervalle d’amplitude 2π, −π ; π par exemple. On sait, de plus que la fonction cosinus est paire, donc sa courbe est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées dans un repère orthogonal. On peut finalement restreindre l’étude à l’intervalle 0 ; π . La courbe complète de la fonction cosinus s’obtiendra en effectuant une symétrie → − axiale d’axe (Oy) puis des translations de vecteurs 2kπ i (k ∈ Z). x 0 cos0 (x) 0 π − 0 1 cos x −1 DELOBEL LUITAUD HALLOSSERIE (Blaise Pascal) Chapitre 10 septembre 2016 32 / 39 Courbe de la fonction cosinus : y 1 −2π −3π 2 −π DELOBEL LUITAUD HALLOSSERIE (Blaise Pascal) −π 2 Ccos 0 Chapitre 10 π 2 π 3π 2 2π septembre 2016 x 33 / 39 Exercice 13 √ Soit f la fonction définie sur 0 ; 2π par f (x) = 3 cos(2x) − sin(2x). π 1. Démontrer que, pour tout réel x ∈ 0 ; 2π , f (x) = 2 cos 2x + . 6 2. Dresser le tableau de variation de f . √ 3. Résoudre dans R l’équation f (x) = − 3. DELOBEL LUITAUD HALLOSSERIE (Blaise Pascal) Chapitre 10 septembre 2016 34 / 39 Exercice 13 √ Soit f la fonction définie sur 0 ; 2π par f (x) = 3 cos(2x) − sin(2x). π 1. Démontrer que, pour tout réel x ∈ 0 ; 2π , f (x) = 2 cos 2x + . 6 2. Dresser le tableau de variation de f . √ 3. Résoudre dans R l’équation f (x) = − 3. Exercice 14 Résoudre graphiquement, dans −7π 7π −1 ; , l’inéquation cos x < 2 2 2 y 1 Ccos −3π −5π 2 −2π −3π 2 −π DELOBEL LUITAUD HALLOSSERIE (Blaise Pascal) −π 2 0 Chapitre 10 π 2 π 3π 2 2π 5π 2 septembre 2016 3π 34 / 39 7 2 Sommaire 1. Rappels de première 1.1 Définition et premières propriétés 1.2 Angles associés 1.3 Les formules d’addition et de duplication 2. Dérivabilité des fonctions cosinus et sinus 2.1 Dérivabilité en 0 2.2 Fonction dérivée 2.3 Composition 3. Étude des fonctions cosinus et sinus 3.1 Étude de la fonction cosinus 3.2 Étude de la fonction sinus DELOBEL LUITAUD HALLOSSERIE (Blaise Pascal) Chapitre 10 septembre 2016 35 / 39 On a vu précédemment que la fonction sinus est périodique de période 2π. On peut donc restreindre l’étude de la fonction sinus à un intervalle d’amplitude 2π, −π ; π par exemple. On sait, de plus que la fonction sinus est impaire, donc sa courbe est symétrique par rapport à l’origine O du repère. On peut finalement restreindre l’étude à l’intervalle 0 ; π . La courbe complète de la fonction sinus s’obtiendra en effectuant une symétrie → − centrale de centre O puis des translations de vecteurs 2kπ i (k ∈ Z). x π 2 0 sin0 (x) + 0 π − 1 sin x 0 DELOBEL LUITAUD HALLOSSERIE (Blaise Pascal) 0 Chapitre 10 septembre 2016 36 / 39 Courbe de la fonction sinus : y Csin 1 −2π −3π 2 −π DELOBEL LUITAUD HALLOSSERIE (Blaise Pascal) −π 2 0 Chapitre 10 π 2 π 3π 2 2π septembre 2016 x 37 / 39 Exercice 15 Soit f la fonction définie sur R par f (x) = 2 sin x + sin(2x). 1. 2. 3. 4. 5. Démontrer que f est périodique de période 2π. Étudier la parité de f . Déduire des questions précédentes le domaine d’étude de f . Dresser le tableau de variation de f sur son domaine d’étude. Représenter Cf dans un repère (O; I, J) orthogonal. DELOBEL LUITAUD HALLOSSERIE (Blaise Pascal) Chapitre 10 septembre 2016 38 / 39 FIN DELOBEL LUITAUD HALLOSSERIE (Blaise Pascal) Chapitre 10 septembre 2016 39 / 39