Premiere s exercices angles orientes

Première S
Exercices angles orientés – repérage polaire
2010-2011
Exercice 1 : angles orientés
Sur la figure, ABC est un triangle équilatéral et EHA est rectangle isocèle en H.
Trouver la mesure principale de chacun des angles orientés suivants.
→ →
→ →
a) ( AB , AC )
b) ( BA , CB )
→ →
→ →
d) ( EA , EC )
e) ( EA , CH )
→ →
c) ( AH, EB )
→ →
f) ( AC , AE )
Exercice 2 : lignes trigonométriques
a) Placer sur le cercle trigonométrique les points repérés par :
5π
π
- x, 3π + x, 5π - x, x 2
2
b) Simplifier l'expression :
5π

π

sin  - x + sin(3π + x) + cos(5π - x) + cos x - 2


2

π
π
3π
3π
et sin
.
8
8
On considère les points A de coordonnées polaires (2;0) et B image de A dans la
3π
rotation de centre O et d'angle . I est le milieu de [AB].
4
1) Calculer les coordonnées cartésiennes de A et B puis en déduire celle de I.
2) a) Préciser la nature du triangle OAB et en déduire la mesure principale
Exercice 3 : repérage polaire : valeurs exactes de cos
→ →
de ( i , OI ).
b) Quelles sont les coordonnées polaires de I ?
3π
3π
3) En déduire les valeurs exactes de cos
et sin .
8
8
1
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Exercices angles orientés – repérage polaire
CORRECTION
2010-2011
Exercice 1 : angles orientés
Sur la figure, ABC est un triangle équilatéral et EHA est rectangle isocèle en H.
Trouver la mesure principale de chacun des angles orientés suivants.
→ →
a) ( AB , AC )
→ →
d) ( EA , EC )
→ →
→ →
b) ( BA , CB )
→ →
e) ( EA , CH )
→ →
c) ( AH, EB )
→ →
f) ( AC , AE )
π
(car ABC est équilatéral)
3
π 2π
=π- =
3 3
π
=
2
π
= - (car AEH est isocèle rectangle)
4
π 3π
=π- =
4 4
→ →
→ →
5π
π π
= ( AC , AH) + ( AH, AE ) = - - = 6 4
12
( AB , AC ) =
→ →
( BA , CB )
→ →
( AH, EB )
→ →
( EA , EC )
→ →
( EA , CH )
→ →
( AC , AE )
Exercice 2 : lignes trigonométriques
a) Placer sur le cercle trigonométrique les points repérés par :
5π
π
- x, 3π + x, 5π - x, x 2
2
b) Simplifier l'expression :
5π

π

sin  - x + sin(3π + x) + cos(5π - x) + cos x - 2


2

2
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CORRECTION
2010-2011
a)
5π

π

b) sin  - x + sin(3π + x) + cos(5π - x) + cos x - 2


2

π

= sin 2 - x + sin(π + x) + cos(π - x) + sin(x)


= cos(x) - sin(x) - cos(x) + sin(x) = 0
3π
π
3π
π
et sin
.
8
8
On considère les points A de coordonnées polaires (2;0) et B image de A dans la
3π
rotation de centre O et d'angle . I est le milieu de [AB].
4
1) Calculer les coordonnées cartésiennes de A et B puis en déduire celle de I.
2) a) Préciser la nature du triangle OAB et en déduire la mesure principale
Exercice 3 : repérage polaire : valeurs exactes de cos
→ →
de ( i , OI ).
b) Quelles sont les coordonnées polaires de I ?
3π
3π
3) En déduire les valeurs exactes de cos
et sin .
8
8
1)
Les coordonnées cartésiennes de A sont (2;0).

3π
3π
Celles de B sont : 2×cos ; 2×sin 
4
4

Soit B (- 2; 2)
xA + xB yA + yB
;

Les coordonnées de I sont 
2 
 2
3
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CORRECTION
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2 - 2 2 
; 
Soit I 
2 
 2
2)
a)
Le triangle OAB est isocèle en O.
3π
(car (OI) est à la fois médiane issue de O et
Donc( OA, OI ) =
8
→ →
bissectrice de l'angle d
O dans le triangle isocèle en O OAB).
→ →
3π
Donc ( i , OI ) =
8
 3π
3) Les coordonnées polaires de I.sont donc de la forme r,  (avec r = OI)
 8
3π
3π
On a donc xI = r×cos
et yI = r×sin
8
8
3π xI
3π yI
Donc cos
=
et sin
=
8
r
8
r
r² = OI² = xI² + yI² =
Donc r =
Donc cos
et sin
2-
1
((2 – 2)² +
4
2²) =
8-4 2
=24
2
2
3π
2- 2
=
=
8 2 2- 2
3π
2
1
=
=
8 2 2– 2 2
22
2
2
2-
2
=
1
2
2(2 + 2)
=
4-2
2+
2
(Pour sinus, on a multiplié par la quantité conjuguée de 2 -
2
2 qui est 2 +
2 pour rendre le dénominateur entier).
4