Exercices de trigonometrie en premiere

EXERCICES DE TRIGONOMÉTRIE
Exercice 1
Résoudre, sur , les équations suivantes :
2
3
sin x =
4
2
cos x =
1
2
sin (2x) = cos x
Exercice 2
Simplifier au maximum les expressions suivantes :
2
æp
ö
A(x) = cos(x + p) sin ç - x ÷ - sin (-x)
è2
ø
B(x) = tan(x + p) - tan x (pour x Î ]-
p p
; [)
2 2
2æ
pö
C(x) = sin ç x - ÷ + sin(p – x).sin(–x)
2ø
è
æp
ö
æp
ö
D(x) = sin ç + x ÷ – sin ç - x ÷
è3
ø
è3
ø
Démontrer que pour tout x Î  :
2
3
æp
ö
æp
ö
- sin x
sin ç + x ÷ ´ sin ç - x ÷ =
4
è3
ø
è3
ø
Généralisation :
2
2
sin(a + b) sin(a - b) = sin a - sin b
Exercice 3
7p
7p
et cos
.
12
12
7p
p p
(On pourra utiliser l'égalité
= + )
12
4 3
En utilisant les formules d'addition, calculer la valeur exacte de sin
Exercice 4
Démontrer que pour tout réel x :
4
4
cos x - sin x = cos(2x)
Exercice 5
Démontrer que, pour tout réel x différent de k
p
(k Î ) :
2
sin 3x cos 3x
=2
sin x
cos x
Exercice 6
Démontrer que la représentation graphique de la fonction ¦ définie, sur , par :
¦(x) = cos (2x) + sin x – 1
est située entre les droites d'équation y = –3 et y = 1.
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Exercice 7
Résoudre, dans , l'équation :
3
2
2sin x - 17sin x + 7sin x + 8 = 0
Exercice 8
1. q est un angle (situé dans ]-p ; p]) dont on sait que cos q = -
3
1
et sin q = . Que vaut q (en radians) ?
2
2
p
4
; p] tel que sin q = . Calculer cos q et tan q.
5
2
2
3. q est un angle situé dans ]-p ; 0] tel que cos q = . Calculer sin q et tan q.
3
4. q est un angle situé dans ]-p ; 0] tel que tan q = 2. Calculer cos q et sin q.
2. q est un angle situé dans [
Exercice 9
Résoudre, dans ]-p ; p[, les équations :
3
2
2cos x - 7cos x + 2cos x + 3 = 0
3
2
2sin x + cos x - 5sin x - 3 = 0
Exercice 10
p
= 2 - 1.
8
sin x
p
pour tout x Î D où D =  \ { + kp où k Î }
On rappelle que tan x =
cos x
2
1. Démontrer que pour tout x Î D :
tan(p + x) = tan x
Dans cet exercice, on dispose de la donnée suivante : tan
En déduire la valeur exacte de tan
9p
.
8
2. Démontrer que pour tout x Î D:
1 + tan x =
2
En déduire la valeur exacte de cos
3. Calculer la valeur exacte de cos
p
p
puis de sin .
8
8
1
cos2 x
5p
.
8
Exercice 11
J
Sur un cercle trigonométrique C, on considère les points A et B tels que :
® ®
® ®
7p
3p
( OI , OA ) =
et ( OI , OB ) = –
8
5
Déterminer la mesure principale des angles suivants :
A
()
p
2
( )
7p
8
I'
O
I (0)
® ®
® ®
® ®
( OA , OJ ) ; ( OJ , OB ) ; ( OB , OA )
(On pourra utiliser la relation de Chasles)
B
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( )
-
3p
5
J'
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Exercice 12
r r
Dans un repère orthonormé (O, i , j ), on considère les points A et B dont les coordonnées polaires sont :
æ pö
A(2 ; 0) B ç 2; ÷
è 6ø
On considère également le point C dont les coordonnées cartésiennes sont : C(- 3 ; -1)
1. Préciser, sans justification les coordonnées cartésiennes de A.
2. Calculer les coordonnées cartésiennes de B.
3. Calculer les coordonnées polaires de C.
4. Justifier que les points A, B et C sont sur un même cercle de centre O dont on précisera le rayon.
5. Placer, précisément, les points A, B et C sur une figure.
6. Quelle est la nature du triangle ABC ? (Justifier)
Exercice 13
Dans cet exercice, on dispose de la donnée suivante : tan
1. Soit x Î ]0 ;
p
=2- 3.
12
p
[.
2
Démontrer que :
2. En déduire que :
1
æp
ö
tan ç - x ÷ =
2
tan
x
è
ø
tan
5p
=2+ 3.
12
Exercice 14
1. Résoudre, dans ]-p ; p], l'équation :
sin x = sin(2x)
Représenter les éventuelles solutions sur le cercle trigonométrique.
2. Existe-t-il un angle aigu q, non nul, ayant même sinus que 2q ?
Exercice 15
1+ 5
æ pö
cos ç ÷ =
4
è5ø
æ 2p ö
æ 3p ö
Calculer la valeur exacte de cos ç ÷ puis de cos ç ÷ .
è 5 ø
è 5 ø
Dans cet exercice, on donne :
Exercice 16
p
1 - cos( 2 x)
[:
tan x =
sin(2 x )
2
p
p
.
2. En déduire les valeurs exactes de tan et tan
8
12
1. Démontrer que, pour tout x Î ]0 ;
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Exercice 17
ABC est un triangle non rectangle.
tan(A + B) = -tan C
1. Démontrer que :
2. À l'aide de la relation tan(A + B) =
tan A + tan B
(que l'on pourra redémontrer au passage), prouver que :
1 - tan A tan B
tan A + tan B + tan C = tan A . tan B . tan C
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