Chapitre 9 - Trigonométrie

Cours de 1ère S/Trigonométrie
E. Dostal
Janvier 2016
Table des matières
9 Trigonométrie
9.1 Nouvelle unité d’angle : le radian
9.2 Angles orientés . . . . . . . . . .
9.3 Règles de calcul . . . . . . . . . .
9.4 Fonctions trigonométriques . . .
9.5 Formules trigonométriques . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
1
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
2
2
3
4
6
8
Chapitre 9
Trigonométrie
9.1
Nouvelle unité d’angle : le radian
Définition 1 On considère un cercle de centre O et de rayon 1, muni du sens trigonométrique
(sens inverse des aiguilles d’une montre). Ce cercle est appelé cercle trigonométrique.
On ”enroule” la droite des réels autour de ce cercle en partant du point I dans le sens direct.
Un radian est la mesure de l’angle formé au centre du cercle par un arc de longueur 1.
angle en degré
360
180
60
90
45
30
nombre de tours
1
1
2
1
6
1
4
1
8
1
12
angle en radians
2π
π
π
3
π
2
π
4
π
6
2
E. Dostal - 2016
Angle en radian
−π
π
2
π
3
18π
−5π
2
3π
4
Point du cercle
A
B
C
D
E
F
9.2
—
CHAPITRE 9. TRIGONOMÉTRIE
G
H
I
K
Angles orientés
Définition 2 Soient ~u et ~v deux vecteurs non nuls.
On appelle angle orienté de vecteurs, noté (~u, ~v ), l’angle en radians formé par ces deux
−→
vecteurs en les plaçant sur un cercle trigonométrique pour lequel ~u serait colinéaire à OI.
3
E. Dostal - 2016
—
CHAPITRE 9. TRIGONOMÉTRIE
Définition 3 Soit un angle orienté de vecteurs (~u, ~v ). (avec ~u et ~v non nuls).
Cet angle a une infinité de mesures en radians (toute égales à 2π près). Il en existe une unique
dans l’intervalle ] − π; +π], appelée mesure principale de l’angle (~u, ~v ).
— Toutes ces mesures étant égales à 2π près, on écrira des égalités modulo 2π.
Dans l’exemple précédent, on a :
−→ −−→
π
(OA, OC) =
[2π]
3
−−→ −→
π
[2π]
(OB, OA) =
2
−−→ −→
7π
π
(OK, OA) =
=−
[2π]
4
4
— Exemple 1
−→ −→
27π
Donner la mesure principale de l’angle (RS, RT ) =
5
9.3
—
Règles de calcul
Proposition 2
Relation de Chasles
Soient ~u, ~v et w,
~ trois vecteurs non nuls. Alors :
(~u, ~v ) + (~v , w)
~ = (~u, w)
~
Proposition 3
Soient ~u et ~v non nuls.
(~v , ~u) = −(~u, ~v )
—
[2π]
[2π]
(~u, −~v ) = π + (~u, ~v )
[2π]
(−~u, ~v ) = π + (~u, ~v )
[2π]
(−~u, −~v ) = (~u, ~v )
4
[2π]
E. Dostal - 2016
CHAPITRE 9. TRIGONOMÉTRIE
Théorème 4 La somme des angles d’un triangle en les parcourant dans le sens direct, vaut π.
—
−−
→ −→
−−→ −−
→
−→ −−→
(AB, AC) + (BC, BA) + (CA, CB) = π
[2π]
• Alignement : Trois points A, B et C sont alignés si et seulement si :
−−
→ −→
(AB, AC) = 0 [2π]
ou
−−
→ −→
(AB, AC) = π [2π]
−
−→ −→
ce qui revient à écrire : (AB, AC) = 0 [π]
• Remarque : une égalité modulo se traduit en fait par :
(~u, ~v ) = α [2π]
⇔
(~u, ~v ) = α + k × 2π avec k ∈ Z
5
E. Dostal - 2016
9.4
CHAPITRE 9. TRIGONOMÉTRIE
Fonctions trigonométriques
On considère le cercle trigonométrique dans le repère orthonormé (O;~i, ~j).
−−→
Soit M un point du cercle tel que (~i, OM ) = α [2π]. On cherche à déterminer les coordonnées de
M dans le repère en fonction de α.
Soient A et B les projetés orthogonaux de M sur les axes.
• Si M est dans le quart de plan positif :
Dans le triangle OAM rectangle en A, on a : cos(α) =
De même sin(α) =
coté opposé
AM
OB
=
=
= OB
hypoténuse
OM
OM
OA
coté adjacent
=
= OA
hypoténuse
OM
Ainsi dans ce quart de plan, M a pour coordonnées ( cos α , sin α )
• Cas général : On étend cette propriété à tout le plan afin de définir le cosinus et le sinus de
n’importe quel angle en radians, donc de n’importe quel réel α.
Définition 4
Soit α un nombre réel. Soit M le point du cercle trigonométrique tel que
−−→
~
(i, OM ) = α [2π], alors :
cos α est l’abscisse de M
sin α est l’ordonnée de M
• A l’aide du cercle trigonométrique, on complète :
α
cos α
sin α
0
2π
π
6
π
2
3π
2
− 6π
2
E. Dostal - 2016
• Calcul de cos
CHAPITRE 9. TRIGONOMÉTRIE
π
3
• Valeurs remarquables de cos et sin : (tableau à connaı̂tre par coeur)
α
cos α
sin α
0
π
6
π
4
1
√
3
2
√
0
1
2
2
2
√
2
2
• Application : Déterminer les valeurs suivantes :
4π
)=
3
5π
sin ( ) =
4
cos (
֒→ ex 36 p 292
7
π
3
π
2
π
1
2
0
−1
1
0
√
3
2
E. Dostal - 2016
9.5
CHAPITRE 9. TRIGONOMÉTRIE
Formules trigonométriques
Théorème 5
Soit α un nombre réel :
cos2 α + sin2 α = 1
• Lignes trigonométriques
cos (−α) =
cos (π − α) =
cos (π + α) =
cos ( π2 − α) =
cos ( π2 + α) =
sin (−α) =
sin (π − α) =
sin (π + α) =
sin ( π2 − α) =
sin ( π2 + α) =
8