Sécante Cosécante Cotangente

Rapports trigonométriques
On connaît déjà les rapports trigonométriques sinus, cosinus et
tangente qui sont définis par :
On obtient :
On note les égalités suivantes
:
sin A = cos B
tan A = sin A
cos A
cos A = sin B
et
tan B =
sin B
cos B
On définit trois nouveaux rapports trigonométriques : sécante, cosécante et cotangente.
Sécante
La sécante est l'inverse multiplicatif du cosinus. ( sec A x cos A = 1 )
sec A =
1
=
cos A
1
=
(b/c)
c
b
Cosécante
La cosécante est l'inverse multiplicatif du sinus. ( cosec A x sin A = 1 )
cosec A =
=
1
sin A
1
=
(a/c)
c
a
Cotangente
La cotangente est l'inverse multiplicatif de la tangente. ( cotan A x tan A = 1 )
cotan A =
1
=
tan A
1
=
(a/b)
b
a
Valeur exacte
En utilisant la relation de Pythagore, on peut trouver la valeur exacte de certains rapports
trigonométriques.
Angle de 45o
Donc :
Angle de 30o
Donc :
Angle de 60o
De la même manière, on peut aisément trouver que :
Radians
Combien de fois un arc de cercle de longueur égale au rayon r est-il compris dans la circonférence
d'un cercle ?
c = 2πr
c / r = 2π
Donc, il est compris environ 6,28 fois.
L'angle entre les deux rayons s'appelle 1 radian.
360o = 2π radians
donc : 1 radian = 360 / 2π
1 radian vaut environ 57,29o
Pour transformer des degrés en radians ( ou l'inverse ), on utilise :
Note : θ se lit "thêta".
Ex.: Transformer 90 o en radians.
On obtient les équivalences suivantes entre les angles et les radians :
Pour trouver la longueur d'un arc de cercle ( en unité de longueur ), on utilise :
En mode degré :
En mode radian :
Cercle trigonométrique
C'est un cercle de rayon r = 1, centré à l'origine.
En appliquant la relation de Pythagore, on obtient :
x2 + y2 = 1 donc (cosθ)2 + (sinθ)2 = 1
Un point situé sur le cercle trigonométrique est un
point appartenant à la fonction d'enroulement. On
peut définir le point ( x,y ) par rapport à l'angle de
rotation du rayon.
La fonction
d'enroulement.
qui associe un couple à un point du cercle est la fonction
Visuellement, c'est comme si on "enroulait" la droite des réels ( qui contient les angles de rotation )
autour du cercle trigonométrique et qu'on fait la correspondance entre l'angle de rotation et le point
du cercle.
À la fin, on constate que les angles de rotation de 360o,720o et 1080o ont tous la même image ( le
couple (1,0)).