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TS. Exercices série 1 - Fonctions trigonométriques
Trigo
R
1 On considère les deux fonctions suivantes f et g définies sur par : f (x) = 2. cos(x) ; g (x) = cos(2.x)
Associer à chacune de ces fonctions sa courbe représentative représentée ci-dessous :
−2π
2
−π
0
π
2π
−2π
π
0
−π
2π
Dérivées des fonctions sin et cos
³ →
π
− →
−´
Dans un repère orthonormé O, ı ,  , soient I(1 ; 0), J(0 ; 1), M de coordonnées polaires [1 ; x] où 0 < x <
2
(M est le point du cercle trigonométrique associé à x)
On définit également N l’intersection de l’axe (OI) et de la perpendiculaire à (OI) passant par M et D l’intersection de
(OM) et de la perpendiculaire à (OI) passant par I.
F
1. Faire une figure.
2. Exprimer, en fonction de x, les surfaces des triangles OIM et OID ainsi que celle du secteur angulaire OIM.
i πh
sin x
, sin x < x < tan x, puis cos x <
< 1.
3. En déduire : pour tout x ∈ 0 ;
2
x
sin x
sin x
sin x
4.
a. Calculer lim+
. Quelle est la parité de x 7→
? En déduire lim−
.
x→0
x→0
x
x
x
b. En déduire en utilisant la définition, que la fonction sinus est dérivable en zéro et que sin0 (0) = 1
i π πh
cos x − 1 sin x
− sin x
− {0},
=
×
.
5.
a. Montrer que pour tout x ∈ − ;
2 2
x
x
cos x + 1
b. En déduire le nombre dérivé en zéro de la fonction cosinus.
sin(a + h) − sin(a)
cos h − 1
sin h
6.
a. Démontrer que pour tout réel a et pour tout réel non nul h,
= sin a×
+cos a×
h
h
h
on pourra utiliser la formule d’addition : sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b .
b. En déduire que la fonction sinus est dérivable sur
7. Montrer alors que cos est dérivable sur
R et a pour dérivée la fonction cosinus.
R et que, pour tout réel x,³cos0π(x)´ = − sin³ x
on pourra utiliser les formules sur les angles associés : cos(x) = sin x +
3
4
Calculer la dérivée des fonctions suivantes :
1 + sin x
1. f : x 7→ sin(x) cos2 (x)
2. g : x 7→
2 − cos x
2
; cos x +
π´
= − sin x .
2
¡
¢
3. h : x 7→ cos −2x 2
Soit f la fonction définie sur [0 ; π] par f (x) = (1 − cos x) sin x, représentée graphiquement ci-dessous.
y
1. Calculer f 0 (x).
2. Montrer que f 0 (x) = (1 + 2 cos x)(1 − cos x).
3. En déduire le sens de variation de f .
0
5
¡ ¢
1
Déterminer la limite de la suite u n définie pour tout n ≥ 1 par u n = 2n sin .
n
6
On considère la fonction f définie sur
R par
f (x) =
π
2
π
x
p
3 cos x − sin x .
1. Démontrer que f est périodique de période 2π. On étudie alors f sur l’intervalle [0 ; 2π].
³
π´
2. Démontrer que f (x) = 2 cos x +
. Rappel : cos(a + b) = cos a cos b − sin a sin b .
6
·
¸
·
¸
·
¸
5π
5π 11π
11π
3. Démontrer que f est décroissante sur l’intervalle 0 ;
, croissante sur
;
et décroissante sur
; 2π .
6
6
6
6
4. Dresser le tableau de variations de f .
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1
n
TS. Exercices série 1 - Fonctions trigonométriques
7
On a représenté ci-dessous, dans un repère orthogonal, la fonction f définie sur
R par
f (x) = sin2 x + cos(2x).
y
~
−2π
−3π
2
−π
2
−π
π
2
0 ~ı
3π
2
π
x
2π
1. Conjecturer la parité de f et une période de f .
2. Démontrer ces conjectures par le calcul.
µ
¶
3π
Soit f la fonction définie sur [0 ; π] par f (t ) = 3 sin 2t −
.
4
8
y
Étudier le sens de variation de f
et en déduire les coordonnées des points A et B
correspondants aux extrema de f .
B
3
2
1
π
2
−1 0
−2
A
−3
9
x
π
On a représenté graphiquement une fonction f dont l’expression est donnée par f (x) = cos(ax + b) ,
h πi
où a ∈ et b ∈ 0 ;
.
2
y
– la courbe représentative de f
R
2
coupe l’axe des ordonnées en A ;
– la tangente
p à cette courbe en A admet pour équation :
3
y = −x +
.
2
1 A
−π
2
Calculer a et b.
0
π
2
π
x
−1
−2
R
f est la fonction définie sur par f (x) = 2x − sin x. On note C sa courbe représentative dans un repère ortho³ →
− →
−´
normé O, ı ,  . L’objet de cet exercice est l’étude de la fonction f et de sa courbe C .
10
1. Calculer la dérivée de f en déduire les variations de f sur
2.
a. Démontrer que pour tout x de
R,
R
2x − 1 ≤ f (x) ≤ 2x + 1 .
b. En déduire la limite de f en +∞ et en −∞.
3. D1 et D2 sont les droites d’équations respectives : y = 2x − 1 et y = 2x + 1.
a. Déterminer les points communs à C et D1 d’une part, à C et D2 d’autre part.
b. Préciser les tangentes à C en ces points.
³ →
− →
−´
4. Tracer avec précision dans le repère O, ı ,  (unités graphiques 2 cm) la courbe C sur l’intervalle [0 ; π].
Déterminer et tracer les tangentes au point O et au point A d’abscisse π. Tracer également D1 et D2 .
m
2