Examen de Physique : Électromagnétisme cp2 - e

Examen de Physique - 24/01/2014
Examen de Physique : Électromagnétisme
cp2
Durée de l'épreuve : 2h00.
La plus grande importance doit être apportée à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Les résultats
seront présentés sous forme littérale avant les applications numériques.
Si un étudiant est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et doit
poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.
On respectera les notations données dans l'énoncé et sur les gures.
Seules les calculatrices fournies par l'école sont autorisées.
Tous les documents sont interdits (en particulier les formulaires).
Les exercices sont indépendants. Ils peuvent par conséquent être traités dans un ordre quelconque.
Le sujet comporte 3 pages.
Les résultats donnés par l'énoncé peuvent être utilisés pour poursuivre la résolution, même sans les avoir démontrés.
Le barème est indicatif et susceptible d'être modié.
Toutes les questions ont à peu près un poids égal dans la notation. Tout début de réponse sera valorisé.
Bref formulaire
En coordonnées cartésiennes,
→
− →
−
∂Xx
∂Xy
∂Xz
∇· X =
+
+
∂x
∂y
∂z
→
− →
−
∂Xz
∂Xy −
∂Xx
∂Xz −
→ + ∂Xy − ∂Xx −
→
∇× X =
−
u→
−
u
u
x+
y
z
∂y
∂z
∂z
∂x
∂x
∂y
p+q
p−q
cos
2
2
p+q
q−p
cos p − cos q = 2 sin
sin
2
2
cos p + cos q = 2 cos
elmact2
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Examen de Physique - 24/01/2014
12 pts
Une onde électromagnétique (incidente) plane progressive
et harmonique de pulsation ω se propage dans le vide dans
le plan yOz selon une direction θ avec −→la direction −u→ (voir schéma).
Elle est polarisée rectilignement selon u :
1 • Réexion d'une onde
z
x
→
− − −
−
→
Ei = E0 cos ωt − ki · →
r u→
x
Elle se rééchit sur une interface métallique considérée comme un conducteur parfait et située en z 6 0.
z
→
−
ki
→
−
kr
θ
y
•
x
Exprimer le vecteur d'onde →−k dans la base (−u→, −u→, −u→) en fonction de la longueur d'onde λ et de l'angle θ.
Réécrire le champ électrique en fonction de E , λ, θ, y, z, ω et t.
·
On rappelle l'équation de D'Alembert, adaptée à la situation présente :
1·1 -
i
x
y
z
0
1 2 -
∂ 2 Ex
∂ 2 Ex
∂ 2 Ex
1 ∂ 2 Ex
+
+
−
=0
∂x2
∂y 2
∂z 2
c2 ∂t2
En déduire la relation de dispersion, k = 2π/λ en fonction de ω et c.
−
→
·
Exprimer le champ magnétique incident
B en fonction de E , c, λ, θ, y, z, ω et t.
Dessiner sur votre copie les trois vecteurs →−k , −E→, −B→
·
Que valent les champs électriques et magnétiques transmis dans le métal? (Justier succinctement)
·
Le champ électrique incident se superpose avec le champ électrique rééchi supposé sous la forme
i
1 3 -
i
i
i
0
i
1 4 1 5 -
→
− − −
−
→
Er = Er0 cos ωt − kr · →
r u→
x
D'après les lois →−de Descartes, quel angle forme la direction de propagation de l'onde rééchie avec l'axe Oz ?
Exprimer alors k en fonction de θ et λ.
·
Écrire la relation de passage du champ électrique au point (y = 0, z = 0) pour en déduire l'expression de E en
fonction de E . Que peut-on dire des charges surfaciques portées par le métal?
−
→
·
Exprimer le champ magnétique rééchi
B en fonction de E , c, λ, θ, y, z, ω et t.
Dessiner sur votre copie les trois vecteurs →−k , −E→, −B→
·
Montrer que vaut le champ électrique total→−E côté z > 0 s'écrit
r
1 6 -
r0
0
1 7 -
r
r
r
0
r
1 8 -
→
−
E = −2E0 sin
2π
cos θz
λ
sin ωt −
2π
θy
sin
Que peut-on dire de ce champ? (OPPH? stationnaire? progressif?)
·
Dans quelle direction et à quelle vitesse se propage ce champ électrique?
→
−
·
Montrer que le champ magnétique
total
B s'écrit

−
u→
x
1 9 -
1 10 -

→
−
2E0 

B =
c 

0
2π
2π
− cos(θ) cos
cos θ z cos ωt −
sin θ y
λ
λ
2π
2π
sin(θ) sin
cos θ z sin ωt −
sin θ y
λ
λ






En déduire le vecteur de Poynting, noté →−R , et sa moyenne, notée h→−R i. Commenter ces expressions.
·
En appliquant la relation de passage du champ magnétique, exprimer les courants surfaciques qui se développent
sur le conducteur.
1·11 1 12 -
elmact2
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Examen de Physique - 24/01/2014
4 pts
2 • Perforation d'un métal
L'onde transmise par un rayon laser dans un métal de conductivité γ s'écrit
 →
−
 E = E0 e−z/δ ei(ωt−z/δ) −
u→
x
√
−
2 E0 −z/δ i(ωt−z/δ−π/4) −
→
 →
B =
e
e
u
y
δω
r
2
δ=
µ0 γω
Montrer que ces champs satisfont la relation de Maxwell-Faraday.
·
Exprimer la puissance volumique perdue par eet Joule P puis l'intégrer pour montrer que la puissance
moyenne dissipée sur une surface S et une profondeur très supérieure à δ vaut
2·1 -
2 2 -
JV
PJ =
γ E0 2 δ S
4
On donne les caractéristiques suivantes, pour l'aluminium :
température de fusion T = 933 K, conductivité γ = 4.10 S.m , capacité volumique c = 3.10 J.m .K
µ = 4π.10 H.m
S = 1 mm = 10 m
ω = 2.10 rad.s
E = 10 V.m
Sachant que l'essentiel de l'énergie est dissipée dans un volume égal à V = 5 S δ et que la thermodynamique nous
apprend que le transfert thermique nécessaire à l'augmentation de température s'écrit Q = V c (T − T ), combien
de temps faut-il appliquer le rayon laser pour faire fondre le métal initialement à une température de 300 K ?
·
En réalité, cela prend beaucoup plus de temps. Quelles peuvent en être les causes?
2·3 -
0
−7
−1
−1
6
f
2
−6
2
15
−1
0
5
−3
6
v
−1
−1
v
f
0
2 4 -
4 pts
On considère
un cylindre diélectrique de longueur innie, d'axe (Oz), de section circulaire de rayon a et de polarisation
→
− →
−
radiale P (|| P || = C ).
·
Exprimer les charges de polarisation équivalentes à la polarisation →−P .
·
En utilisant le théorème de Gauss, exprimer le champ électrique créé par ce cylindre pour r < a.
·
Retrouver cela en utilisant l'équation de Maxwell-Gauss →−∇·→−D = ρ , en exprimant →−D et ρ et en utilisant les
symétries du système.
·
Comment pourrait être créée une telle polarisation?
On donne, en coordonnées cylindriques,
3 • Polarisation d'un diélectrique
te
3 1 -
3 2 -
3 3 -
`
`
3 4 -
→
− →
−
1 ∂(r Pr ) 1 ∂Pθ
∂Pz
∇· P =
+
+
r ∂r
r ∂θ
∂z
elmact2
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