G.P. Questions de cours optique géométrique Miroir sphérique

G.P.
Questions de cours optique géométrique
Miroir sphérique:
Stigmatisme:
L'objet ponctuel A est sur l'axe du miroir (centre C , sommet S , rayon algébrique
R= SC ). Déterminer la position du point A' où un rayon réfléchi coupe l'axe. On fera
intervenir l'angle  qui caractérise le point d'incidence I . Le miroir est il stigmatique?
Que devient cette position en optique de Gauss. Conclure quant au stigmatisme. Faire la
figure.
Réponse:
Rappels mathématiques:
• l'angle extérieur à un triangle est égal à la somme des deux autres: =
démonstration: −= (somme des trois angles du triangle)
B
β
+
α
A
• formule des sinus:
δ
C
a
b
c
=
=


sin  A sin  B sin C 
démonstration: par exemple en partant de l'aire du triangle: ½×base×hauteur
1
1

  et encore quatre autres possibilités.
S= c×a sin  B=
c×b sin  A
2
2
On divise ensuite par abc ...etc.
B
c
a
A
b
C
+
G.P.
Questions de cours optique géométrique
Stigmatisme du miroir sphérique:
(remarque: les angles sont orientés donc sur la figure, l'angle i est négatif et i ' =−i )
(remarque: sur la figure, R est négatif)
I
+
i
ω
α
A
i'
C
α'
S
A'
On a:
CA '
−R
=
donc avec ' =i'
sin i ' sin ' 
on obtient:
1
1 sin −i
=
CA' R sin i
−CA
−R
=
donc avec =−i
sin −i sin 
on obtient:
1
1 sin i
=−
CA
R sin i
en faisant la somme:
1
1
1 sini−sin −i

=
CA ' CA −R
sin i
1
1
2

=
cos 
CA ' CA CS
Pour A objet ponctuel donné, la position de A ' dépend de l'inclinaison  du rayon. L'image
n'est pas ponctuelle donc le miroir n'est pas stigmatique.
Stigmatisme du miroir sphérique en optique de Gauss:
En optique de Gauss, les angles sont « petits », on travaille au premier ordre en  . Alors:
1
1
2

=
CA ' CA CS
Pour A objet ponctuel donné, l'image A ' est ponctuelle donc le miroir est stigmatique. Il s'agit
G.P.
Questions de cours optique géométrique
de stigmatisme approché (limité aux petits angles). On vient de démontrer la relation de
conjugaison avec origine au centre.
Figure:
I
ω
H
C
S
On a:
HS=−R1−cos  soit au premier ordre en 
HS=0
On travaille dans le plan tangent en
S d'où le dessin:
I
+
i
α'
ω
α
A
i'
C
A'
S