Algèbre

M P 2∗ 2016/2017
Travaux dirigés du 30/11/2016
Algèbre
Exercice 1:
Si une loi sur un ensemble possède un élément neutre il est unique.
Exercice 2:
Dans un groupe le symétrique est unique.
Exercice 3:
Soit a ∈ R∗+ , on pose pour h ∈ R

ah
Mh =  0
0

0 0
1 h
0 1
Montrer que Ga = {Mh , h ∈ R} est un sous-groupe de GL3 (R) isomorphe à (R, +).
Exercice 4:
1) n étant un entier au moins égal à 2, résoudre le système :
x1 + x2 = b1 , x2 + x3 = b2 , . . . xn−1 + xn = bn−1 , xn + x1 = bn .
2) Peut-on construire un polygône à n sommets dans le plan, en connaissant les milieux de ses côtés ? On
pourra commencer par étudier les cas n = 3 et n = 4.
Exercice 5:
de M3 (R) de la forme

y
z .
1
Montrer que l’ensemble des matrices

1 x
0 1
0 0
est un sous groupe de GL3 (R). Déterminer son centre.
Exercice 6: Si E est un ensemble , on définit sur P(E) une loi ∆ par A∆B = A ∪ B − A ∩ B. Montrer
que (P(E), ∆) est un groupe commutatif.
Indication : Pour établir l’associativité, décrire en français la condition que doit vérifier x pour être élément
de A∆B, puis de (A∆B)∆C.
Exercice 7:
Décomposer en éléments simples dans C(X) la fraction rationnelle
F (X) =
X q−1
1 + X 2p
où p et q sont deux entiers tels que q − 1 < 2p.
1
1
Exercice 8: Montrer que le nombre Hn = 1 + + · · · + n’est jamais un entier pour n ≥ 2.
2
n
Indication : Par récurrence ! Examiner la plus grande puissance de 2 divisant le dénominateur.
Exercice 9:
1) Montrer l’existence d’un polynôme Pn ∈ Rn [X] vérifiant
π
1
sin((2n + 1)θ)
=
∀θ ∈]0, [ Pn
.
2
2
tan θ
(sin θ)2n+1
2) Quelles sont les racines de Pn ? Que vaut leur somme.
1