Les nombres complexes (2) 1 Argument d`un nombre complexe. 2

Chapitre 5
Les nombres complexes (2)
1 Argument d’un nombre complexe.
−
−
Un point M peut être repéré dans le plan muni d’un repère orthonormé direct (O; →
u ,→
v ) de deux façons : par ses coordonnées
−−→
−
cartésiennes x et y ou par ses coordonnées polaires notées r et θ où r = OM et θ = (→
u , OM) si M est distinct de O.
Définition
−
−
Soit z un nombre complexe non nul et M le point d’affixe z dans le plan muni d’un repère orthonormé direct (O; →
u ,→
v ).
−−→
→
−
On appelle argument de z, noté arg(z), une mesure de l’angle orienté de vecteurs ( u ; OM).
Remarques :
• 0 n’a pas d’argument.
• Tout point M est repéré dans le plan complexe par son affixe z = x + i y, et lorsque M est différent de O, par ses coordonnées polaires |z| et arg(z).
2
Ecriture trigonométrique
Théorème :
Soit z un nombre complexe non nul d’écriture algébrique z = a + i b et θ un argument de z. Alors : a = |z| cos θ et b =
|z| sin θ.
On a alors z = |z|(cosθ + i sin θ).
M (z = a + ib)
b
r = |z| = OM
θ = arg(z)
~v
O
~u
a
En effet, z est un nombre complexe non nul et M le point d’affixe z dans le plan complexe.
On sait que OM = |z|.
Donc on a bien a = |z| cos θ et b = |z| sin θ.
Définition
Soit z un nombre complexe non nul.
L’écriture z = |z|(cos θ + i sin θ), où θ désigne un argument de z est appelée écriture trigonométrique ou forme trigonométrique de z.
Remarque :
Soit z un nombre complexe non nul.
– Si on connaît une écriture trigonométrique de z, z = r (cosθ+i sinθ) (r > 0), alors on obtient son écriture algébrique a +i b
en écrivant :
a = r cos θ et b = r sin θ.
– Si on connaît l’écriture algébrique de z, z = a + i b, alors on obtient son écriture trigonométrique
z = r (cos θ + i sin θ) en écrivant :
p
a
b
r = a 2 + b 2 , cos θ = p
, sin θ = p
.
a2 + b2
a2 + b2
Exercice :
p
• On pose z1 = 3 + i . Trouver la forme trigonométrique de z1 .
π
• z2 est le complexe de module 3 et d’argument − . Quelle est la forme algébrique de z2 ?
4
Propriétés
Soit z un nombre complexe.
• z est un réel non nul si, et seulement si, arg(z) = 0 + kπ (k ∈ Z).
• z est un réel strictement positif si, et seulement si, arg(z) = 0 + 2kπ (k ∈ Z).
• z est un réel strictement négatif si, et seulement si, arg(z) = π + 2kπ (k ∈ Z).
π
• z est un imaginaire pur si, et seulement si, arg(z) = + kπ (k ∈ Z).
2
Théorème : Egalité de complexes écrits sous forme trigonométrique
Si z = r (cosθ + i sin θ) et z ′ = r ′ (cos θ′ + i sin θ′ ) sont égaux, alors puisqu’ils sont associés au même point, on a r = r ′ et
θ = θ′ + 2kπ (k ∈ Z).
z = z′
équivaut à
r = r ′ et θ = θ′ (mod 2π).
Remarque :
Si z = r (cosθ + i sin θ) avec r > 0, alors |z| = r et arg(z) = θ mod 2π.
3 Propriété des arguments.
3.1 Premières propriétés.
• arg(z̄) = − arg(z) mod 2π
• arg(−z) = π + arg(z) mod 2π
3.2 Argument d’un produit
Théorème :
Quels que soient les nombres complexes non nuls z et z’ :
arg(zz ′ ) = arg(z) + arg(z ′ ) mod 2π
Démonstration :
Exemple
h :³ π ´
³ π ´i
³ π´
³ π ´i
p h
z = 2 cos
+ i sin
et z ′ = 3 cos − + i sin −
.
5
5
4
4
³ π´
³ π ´i
p
p h
π
π
π
|zz ′ | = 2 × 3 et arg(zz ′ ) = −
mod 2π = −
mod 2π, d’où zz ′ = 2 3 cos −
+ i sin −
.
5 4
20
20
20
Conséquences :
On peut alors Démontrer que |z n | = |z|n et arg(z n ) = n arg(z) mod 2π.
Formule De Moivre : Pour tout entier n et tout nombre réel θ, (cos θ + i sin θ)n = cos(nθ) + i sin(nθ).
Exercice :
p
Donner la forme algébrique du nombre z = (1 − i 3)5 .
3.3 Argument d’un quotient
Théorème :
Quels que soient les nombres complexes non nuls z et z ′ :
arg
³z´
z′
= arg(z) − arg(z ′ ) mod 2π
z
|z|
, on obtient Zz ′ = z, ce qui donne |Zz ′ | = |Z||z ′ | = |z| et |Z| = ′
z′
|z |
et arg(Zz ′ ) = arg(Z) + arg(z ′ ) mod 2π = arg(z) mod 2π, d’où arg(Z) = arg(z) − arg(z ′ ) mod 2π.
En effet, en posant Z =
Conséquences : ¯ ¯
µ ¶
¯1¯
1
1
Si z est non nul, ¯¯ ¯¯ =
et arg
= − arg(z) mod 2π.
z
|z|
z
Exercice :
(1 + i )4
• Donner la forme trigonométrique du nombre Z = p
.
( 3 + i )3
p
z1
3 − i , z2 = 1 − i et Z = .
z2
π
π
Ecrire Z sous forme algébrique, en déduire les valeurs exactes de cos
et sin .
12
12
• Ecrire sous forme trigonométrique les nombres complexes z1 =
4 Interprétations géométriques
−→
−−→ −→
• Soit AB un vecteur et M le point tel que OM = AB.
→ = z − z , donc | z |=| z − z |.
On a zM = z−
AB
B
A
M
B
A
−−→
−→
De plus, ar g (zM ) = ar g (zB − z A ) = (~
u ; OM) = (~
u ; AB).
Ainsi, AB =| zB − z A |
et
−→
(~
u ; AB) = ar g (zB − z A ) .
¯
¯
CD ¯¯ zD − zC ¯¯
• Soit A, B, C et D tels que A 6= B et C 6= D. Alors
=¯
¯.
AB ¯ zB − z A ¯
Ã
!
zD − zC
−→ −−→
−→
−−→
−−→
−→
(AB ; CD) = (AB ; ~
u ) + (~
u ; CD) = (~
u ; CD) − (~
u ; AB) = ar g (zD − zC ) − ar g (zB − z A ) = ar g
.
zB − z A
Ã
!
zD − zC
−→ −−→
Ainsi, (AB ; CD) = ar g
.
zB − z A
5 Applications
−→ −−→
• ABCD est un parallélogramme ⇐⇒ AB = DC ⇐⇒ zB − z A = zC − zD .
• ABC est isocèle en A ⇐⇒ AB = AC ⇐⇒ |zB − z A | = |zC − z A |.
• Soit ∆ la médiatrice de [AB] : M(z) ∈ ∆ ⇐⇒ AM = BM ⇐⇒ |z − z A | = |z − zB |.
• Soit C le cercle de centre A et de rayon r : M ∈ C ⇐⇒ |z − z A | = r .
Ã
!
zD − zC
z − zC
−→ −−→
• (AB)//(CD) ⇐⇒ (AB ; CD) = 0 (mod π) ⇐⇒ ar g
= 0 (mod π) ⇐⇒ D
∈ R∗ .
zB − z A
zB − z A
~′ (z ′ ) sont colinéaires non nuls ⇐⇒ z ∈ R∗ .
Autrement dit, ~
u (z) et u
z′
Ã
!
zC − z A
z − zA
−→ −→
• A, B et C sont alignés ⇐⇒ (AB ; AC) = 0 (mod π) ⇐⇒ ar g
∈ R∗ .
= 0 (mod π) ⇐⇒ C
zB − z A
zB − z A
Ã
!
z − zC
zD − zC
π
π
−→ −−→
= (mod π) ⇐⇒ D
est un imaginaire pur non nul.
• (AB)⊥(CD) ⇐⇒ (AB ; CD) = (mod π) ⇐⇒ ar g
2
zB − z A
2
zB − z A
~′ (z ′ ) sont orthogonaux non nuls ⇐⇒ z est un imaginaire pur non nul.
Autrement dit, ~
u (z) et u
z′
Ã
!
zC − z A
z − zA
π
π
−→ −→
= (mod π) ⇐⇒ C
est un imaginaire pur.
• ABC rectangle en A ⇐⇒ (AB ; AC) = (mod π) ⇐⇒ ar g
2
zB − z A
2
zB − z A
¯
¯
Ã
!
¯z −z ¯
z − zA
π
¯
A¯
• ABC rectangle isocèle en A ⇐⇒ ar g C
= (mod π) et ¯ C
¯ = 1.
¯z −z ¯
zB − z A
2
A ¯
¯B
Ã
!
¯z −z ¯
z − zA
π
π
¯
A¯
• ABC est équilatéral ⇐⇒ ar g C
= ou − (mod 2π) et ¯ C
¯ = 1.
¯z −z ¯
z −z
3
3
B
A
B
A
6 La forme exponentielle
6.1 Définition
Posons f (θ) = cos θ + i sin θ (θ ∈ R). On a démontré que f (θ + θ′ ) = f (θ) f (θ′ ).
La fonction f est donc une solution (complexe) de l’équation fonctionnelle f (a + b) = f (a) f (b).
Or, on sait que les solutions de cette équation fonctionnelle sont solutions des équations différentielles y ′ = a y.
Si on prolonge aux complexes les propriétés de la dérivation, on vérifie que f ′ (θ) = i f (θ).
D’où f (θ) = f (0)e iθ = e iθ .
Cette constatation rend parfaitement légitime la notation suivante :
Pour tout réel θ, on pose e i θ = cosθ + i sin θ.
Cette forme est la forme exponentielle de z.
e iθ désigne donc le nombre complexe de module 1 et d’argument θ : |e iθ | = 1 et ar g (e iθ ) = θ [2π]
Exemples :
e i0 = 1,
π
i
e 2 = i,
e iπ = −1
e i2π = 1,
e
−i
π
2 = −i .
Un nombre complexe z de module r et d’argument θ s’écrit z = r e iθ .
Remarque :
Le conjugué de e iθ est e −iθ .
Exercice :
1. Ecrire sous forme algébrique les nombres complexes :
p
π
2e 3i 4 ;
6e i
2π
3
.
2. Ecrire sous forme exponentielle les nombres suivants : 5i ; 4 + 4i .
6.2 Règles de calculs
Théorème :
′
′
e iθ × e iθ = e i(θ+θ )
e iθ
′
e iθ
′
= e i(θ−θ )
³
e iθ
´n
= e inθ pour n ∈ Z
La notation exponentielle rend les calculs très simples...
Exemples :
π
π
z = 2e i 4 , z ′ = 3e −i 3
alors zz ′ = 6e i
π
4−3
¡π
¢
π
= 6e −i 12 ;
z
2 ¡ π π ¢ 2 7π
= e i 4 + 3 = e i 12 .
′
z
3
3
Formule de Moivre :
Pour tout θ ∈ R et tout n ∈ Z,
(cos θ + i sin θ)n = cos(nθ) + i sin(nθ)
Formules d’Euler :
cos θ =
e iθ + e −iθ
2
et
sin θ =
e iθ − e −iθ
2i
Démonstrations :
Utilisons les formes exponentielles :
³ ´n
(cos θ + i sin θ)n = e iθ = e niθ = cos(nθ) + i sin(nθ)
e iθ + e −iθ = cos θ + i sin θ + cos(−θ) + i sin(−θ) = 2cos θ.
e iθ − e −iθ = cos θ + i sin θ − cos(−θ) − i sin(−θ) = 2i sin θ.
Exercice :
p
Ecrire sous forme exponentielle le nombre suivant : ( 3 − i )5 .
Exercice : i
πh
θ est dans 0; . Donner une forme exponentielle du complexe z = 1 + e iθ .
2
Théorème :
M appartient au cercle de centre A(z A ) et de rayon r si, et seulement si : z = z A + r e iθ avec θ réel.
Démonstration :
M appartient au cercle de centre A et de rayon r équivaut à AM = r , c’est à dire |z − z A | = r .
On a alors z − z A = r e iθ c’est à dire z = z A + e iθ .
7 Liens entre les nombres complexes et certaines transformations du plan
Théorème : Ecriture complexe d’une translation
La translation de vecteur ~
u , d’affixe a, transforme un point M(z) en un point M′ (z ′ ) tel que :
z′ = z + a
"Ajouter un nombre a, c’est translater d’un vecteur d’affixe a"
M ′ (z + a)
2
M (z)
1
A(a)
-2
-1
1
O
2
4
3
-1
Démonstration :
Dire que M′ est l’image de M par la translation de vecteur ~
u signifie :
−−−→′
MM = ~
u
Ce qui se traduit, en termes d’affixes, par z ′ − z = a. D’où le théorème.
Théorème : Ecriture complexe d’une rotation
La rotation de centre Ω(ω) et d’angle θ transforme un point M(z) en un point M′ (z ′ ) tel que :
z ′ − ω = e iθ (z − ω)
"Multiplier par e iθ , c’est faire tourner d’un angle θ"
Illstration dans le cas où Ω = O :
M ′ (eiθ z)
2
M (z)
1
θ
arg(z)
-2
-1
1
O
2
3
-1
Démonstration :
Si M = Ω, la relation z ′ − ω = e iθ (z − ω) est triviale. Supposons M 6= Ω.
Dire que M′ est l’image de M par la rotation de centre Ω et d’angle θ signifie :
(
ΩM′ = ΩM
−−→ −−−→
(ΩM ; ΩM′ ) = θ
 ′
|z − ω| = |z − ω|
µ ′
¶
Ce qui se traduit en termes d’affixes, par :
z −ω
ar g
=θ
z −ω
′
z −ω
On en déduit
= e iθ . D’où le résultat.
z −ω
4
Cas particuliers :
• Si Ω = O, alors l’écriture complexe de la rotation devient
z ′ = e iθ z
• Si θ =
π
(quart de tour de sens direct), alors l’écriture complexe de la rotation devient
2
z ′ − ω = i (z − ω)
• Si Ω = O et θ =
π
, alors l’écriture complexe de la rotation devient :
2
z′ = i z
• Cas du triangle équilatéral. Soient A, B et C trois points du plan d’affixes respectives z A , zB et zC .
ABC est équilatéral de sens direct ⇐⇒ zC − z A = e
i π3
(zB − z A
(en effet, c’est équivalent de dire que C est l’image de B par la rotation de centre A et d’angle
π
).
3
Théorème : Ecriture complexe d’une homothétie
L’homothétie de centre Ω(ω) et de rapport k ∈ R∗ transforme un point M(z) en un point M′ (z ′ ) tel que :
z ′ − ω = k(z − ω)
Démonstration :
Dire que M′ est l’image de M par l’homothétie de centre Ω et de rapport k signifie :
−−−→′
−−→
ΩM = k ΩM
Ce qui se traduit bien, en termes d’affixes, par : z ′ − ω = k(z − ω).