Formulaire sur les nombres complexes Rappel : quelques formules utiles 1. formule du binôme de Newton (a + b)n = n X Cpn ap bn−p p=0 2. somme des termes d’une suite géométrique : 1 + a + · · · + an = an+1 − 1 a−1 si a 6= 1 3. trigonométrie sin2 x + cos2 x = 1 sin(a + b) = sin a cos b + sin b cos a cos(a + b) = cos a cos b − sin a sin b Nombres complexes Si z = x + iy et z ′ = x′ + iy ′ , où x, y, x′ , y ′ sont réels on a : 1. somme : z + z ′ = (x + x′ ) + i(y + y ′ ) 2. produit : z · z ′ = (xx′ − yy ′ ) + i(xy ′ + yx′ ) 3. conjugué : z = x − iy 4. partie réelle : Re z = x 5. partie imaginaire : Im z = y p p z · z = x2 + y 2 6. module : |z| = 7. inverse : 1 x − iy z = 2 = 2 z x + y2 |z| 8. argument : arg z est un nombre θ défini à 2kπ près tel que Re z Im z y x = = et sin θ = p cos θ = p 2 2 2 2 |z| |z| x +y x +y Expression sous forme d’exponentielles complexes eiθ = cos θ + i sin θ e−iθ = cos θ − i sin θ ; 1 z = x + iy = |z|eiθ z = x − iy = |z|e−iθ ; Formules d’Euler cos θ = eiθ + e−iθ 2 ; sin θ = eiθ − e−iθ 2i Formule de Moivre (cos θ + i sin θ)n = cos nθ + i sin nθ ou bien (eiθ )n = einθ Utilisation du complexe conjugué z + z′ = z + z′ ; z · z′ = z · z′ z réel ⇐⇒ z = z ; Re z = Re z = z+z 2 ; 1 1 = z z ; z=z z imaginaire pur ⇐⇒ z = −z Im z = −Im z = ; z−z 2i Formules avec le module |z · z ′ | = |z| · |z ′ | ; |z + z ′ | ≤ |z| + |z ′ | |Re z| ≤ |z| ; |Im z| ≤ |z| 1 = 1 z |z| |z| = |z| ; Formules avec l’argument (à 2kπ près) arg(z · z ′ ) = arg z + arg z ′ ; arg z = arg Racines cubiques de l’unité Les nombres √ 1 3 2iπ/3 j=e =− +i 2 2 arg(z n ) = n arg z (n ∈ Z) 1 = − arg z z 2 et j = j = e −2iπ/3 √ 1 3 =− −i 2 2 vérifient les équations X 2 + X + 1 = 0 et X 3 = 1 Applications à la géométrie Soit a, b, et c trois nombres complexes d’images respectives A, B, C, alors −→ −−→ −−→ a + b = c ⇐⇒ OA + OB = OC Le nombre complexe −→d − − → (AC, AB) b−a AB a pour module et pour argument une mesure en radians de l’angle c−a AC 2